Cho $m,\,\, n$ là các số nguyên và phân số $\dfrac{m}{n}$ tối giản. Biết phân số $\dfrac{4m + 3n}{5m

Câu hỏi số 843108:

Vận dụng

Cho $m,\,\, n$ là các số nguyên và phân số $\dfrac{m}{n}$ tối giản. Biết phân số $\dfrac{4m + 3n}{5m + 2n}$ không tối giản. Tìm $UCLN\left( {4m + 3n,5m + 2n} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843108

Phương pháp giải

Gọi $d = \left( {4m + 3n,5m + 2n} \right)$

Chứng minh $7 \vdots d$ từ giả thiết $\dfrac{4m + 3n}{5m + 2n}$ không tối giản

Giải chi tiết

Vì $\dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản nên $\left( {m,n} \right) = 1$

Gọi $d = \left( {4m + 3n,5m + 2n} \right)$

Vì phân số $\dfrac{4m + 3n}{5m + 2n}$ không tối giản nên $d > 1$

Ta có: $4m + 3n \vdots d,\,\, 5m + 2n \vdots d$ nên

$\begin{array}{l} {5\left( {4m + 3n} \right) - 4\left( {5m + 2n} \right) \vdots d} \\ {20m + 15n - 20m - 8n \vdots d} \\ {7n \vdots d} \end{array}$

Tương tự

$\begin{array}{l} {3\left( {5m + 2n} \right) - 2\left( {4m + 3n} \right) \vdots d} \\ {15m + 6n - 8m - 6n \vdots d} \\ {7m \vdots d} \end{array}$

Nếu $7$ không chia hết cho d thì m và n chia hết cho n.

Mà $\left( {m,n} \right) = 1$ nên vô lý.

Do đó $7 \vdots d$

Suy ra $d \in \left\{ {1;7} \right\}$

Vậy $UCLN\left( {4m + 3n,5m + 2n} \right) = 7$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link