Chứng minh rằng $\left( {a,b} \right) = \left( {a + b,\left\lbrack {a,b} \right\rbrack} \right)$ với

Câu hỏi số 843154:

Vận dụng

Chứng minh rằng $\left( {a,b} \right) = \left( {a + b,\left\lbrack {a,b} \right\rbrack} \right)$ với $\left\lbrack {a,b} \right\rbrack$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843154

Phương pháp giải

Gọi $\left( {a,b} \right) = d,\,\,\left\lbrack {a,b} \right\rbrack = m$, ta cần chứng minh $\left( {a + b,m} \right) = d$

Giải chi tiết

Gọi $\left( {a,b} \right) = d,\,\,\left\lbrack {a,b} \right\rbrack = m$, ta cần chứng minh $\left( {a + b,m} \right) = d\,\,(1)$

Ta có: $a = da',\,\, b = db',\,\,\left( {a',b'} \right) = 1$ nên $a + b = d\left( {a' + b'} \right)\,\,(2)$

Mà $m = \dfrac{ab}{d} = da'b'\,\,(3)$

Từ (2) và (3) ta thấy rằng để chứng minh (1) ta cần chứng minh $\left( {a' + b',a'b'} \right) = 1$

Giả sử $a' + b'$ và $a'b'$ cùng chia hết cho số nguyên tố $p$

Khi đó $a' \vdots p$ hoặc $b' \vdots p$

Nếu $a' \vdots p$ mà $a' + b' \vdots p$ thì $b' \vdots p$ (điều này vô lí do $\left( {a',b'} \right) = 1$)

Nếu $b' \vdots p$ mà $a' + b' \vdots p$ thì $a' \vdots p$ (điều này vô lí do $\left( {a',b'} \right) = 1$)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link