Cho $a,\,\, b,\,\, c,\,\, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{2} + 3b^{2} = 11c^{2} + 185d^{2}$. Chứng

Câu hỏi số 843216:

Vận dụng

Cho $a,\,\, b,\,\, c,\,\, d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{2} + 3b^{2} = 11c^{2} + 185d^{2}$. Chứng minh $a + 3b + 11c + d$ là hợp số.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843216

Phương pháp giải

Chứng minh $\left( {a^{2} + 3b^{2} - 11c^{2} - 185d^{2}} \right) - \left( {a + 3b + 11c + d} \right) \vdots 2$

Giải chi tiết

Ta có: $a^{2} + 3b^{2} = 11c^{2} + 185d^{2}$ hay $a^{2} + 3b^{2} - 11c^{2} - 185d^{2} = 0$

Lại có:

$\begin{array}{l} {\left( {a^{2} + 3b^{2} - 11c^{2} - 185d^{2}} \right) - \left( {a + 3b + 11c + d} \right)} \\ {= \left( {a^{2} - a} \right) + \left( {3b^{2} - 3b} \right) - \left( {11c^{2} + 11c} \right) - \left( {d^{2} + d} \right) - 184d^{2}} \\ {= a\left( {a - 1} \right) + 3b\left( {b - 1} \right) - 11c\left( {c + 1} \right) - d\left( {d + 1} \right) - 184d^{2}} \end{array}$

Rõ ràng $a\left( {a - 1} \right) \vdots 2,\,\, b\left( {b - 1} \right) \vdots 2,\,\, c\left( {c + 1} \right) \vdots 2,\,\, d\left( {d + 1} \right) \vdots 2$ do chúng là những số nguyên liên tiếp

Do đó $a\left( {a - 1} \right) + 3b\left( {b - 1} \right) - 11c\left( {c + 1} \right) - d\left( {d + 1} \right) - 184d^{2} \vdots 2$

Như vậy $a + 3b + 11c + d \vdots 2$

Mà $a + 3b + 11c + d > 2$ nên $a + 3b + 11c + d$ là hợp số (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link