Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\,\, q$ sao cho $7p + q$ và $pq + 11$ đồng thời là số nguyên

Câu hỏi số 843222:

Vận dụng

Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\,\, q$ sao cho $7p + q$ và $pq + 11$ đồng thời là số nguyên tố

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843222

Phương pháp giải

Dựa vào tính chẵn lẻ, tìm được một trong hai số $p,\,\, q$ bằng 2

Sau đó tìm số còn lại

Giải chi tiết

Vì $p,\,\, q$ là các số nguyên tố sao $7p + q$ và $pq + 11$ đồng thời là số nguyên tố nên $7p + q$ và $pq + 11$ đều lớn hơn 3

Do đó $7p + q$ và $pq + 11$ là số lẻ

Suy ra $p,\,\, q$ không cùng tính chẵn lẻ

Xét $p$ chẵn, mà $p$ là số nguyên tố nên $p = 2$

Khi đó ta cần tìm $q$ để $q + 14,\,\, 2q + 11$ là số nguyên tố

Nếu $q = 3$ thì $q + 14 = 17,\,\, 2q + 11 = 17$ là các số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu $q = 3k + 1$ thì $q + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 \vdots 3$ nên $q + 14$ là hợp số (loại)

Nếu $q = 3k + 2$ thì $2p + 11 = 6k + 15 \vdots 3$ nên $2p + 11$ là hợp số (loại)

Xét $q$ chẵn mà $q$ là số nguyên tố nên $q = 2$

Khi đó ta cần tìm $p$ để $7p + 2,\,\, 2p + 11$ là các số nguyên tố

Nếu $p = 3$ thì $2p + 11 = 17,\,\, 7p + 2 = 23$ là các số nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu $p = 3k + 1$ thì $7p + 2 = 21k + 9 \vdots 3$ nên $7p + 2$ là hợp số (loại)

Nếu $p = 3k + 2$ thì $2p + 11 = 6k + 15 \vdots 3$ nên $2p + 11$ là hợp số (loại)

Vậy cặp số $\left( {p,q} \right)$ thỏa mãn là $\left( {2,3} \right),\,\,\left( {3,2} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link