Cho $S = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3.7} + \dfrac{5}{3.7.11} + \ldots + \dfrac{2n + 1}{3.7.11...\left( {4n + 3} \right)}$

Câu hỏi số 843403:

Vận dụng

Cho $S = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3.7} + \dfrac{5}{3.7.11} + \ldots + \dfrac{2n + 1}{3.7.11...\left( {4n + 3} \right)}$ với $n \in {\mathbb{N}}*$. Chứng minh $S < \dfrac{1}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:843403

Phương pháp giải

Xét số hạng tổng quát $\dfrac{2n + 1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4n + 3 - 1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n - 1} \right)} - \dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)}} \right)$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} {2S = \dfrac{2}{3} + \dfrac{6}{3.7} + \dfrac{10}{3.7.11} + \ldots + \dfrac{4n + 2}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)}} \\ {2S = \left( {1 - \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3.7}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3.7} - \dfrac{1}{3.7.11}} \right) + \ldots\left( {\dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n - 1} \right)} - \dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)}} \right)} \\ {2S = 1 - \dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)}} \end{array}$

Vì $1 - \dfrac{1}{3.7.11\ldots\left( {4n + 3} \right)} < 1$ nên $2S < 1$ hay $S < \dfrac{1}{2}$

Vậy $S < \dfrac{1}{2}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link