Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x + d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới

Câu hỏi số 846120:
Thông hiểu

Cho hàm số $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x + d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng điểm $O\left( {0;0} \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đúng Sai
a) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$.
b) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $T\left( {2;4} \right)$.
c) Hàm số đồng biến trên $\left( {1; + \infty} \right)$.
d) Gọi $A,\, B$ là hai điểm di động trên đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $A$ và $B$ luôn song song với nhau. Khi khoảng cách từ điểm $M\left( {4;1} \right)$ đến đường thẳng $AB$ lớn nhất thì độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng $2\sqrt{5}$.

Đáp án đúng là: Đ; Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:846120
Phương pháp giải

a) Từ các điểm thuộc tiệm cận xiên, lập hệ phương trình để tìm phương trình đường tiệm cận xiên.

b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị, từ đó suy ra tọa độ của điểm cực tiểu.

c) Quan sát hướng đi của đồ thị để suy ra tính đơn điệu.

d) Xác định hệ số a, b, c, d của hàm số.

Gọi I là trung điểm của AB và chứng minh I cố định, suy ra $\max\left\lbrack {d\left( {M,AB} \right)} \right\rbrack = MI$ khi $MI\bot AB$.

Lập phương trình đường thẳng AB, tìm tọa độ AB và tính độ dài AB.

Giải chi tiết

a) Đúng. Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị có phương trình $y = mx + n$.

Tiệm cận xiên đó đi qua các điểm có tọa độ $(-1; 0)$ và $(0; 1)$ nên ta có

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {0 = - 1m + n} \\ {1 = 0m + n} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 1} \\ {n = 1} \end{array} \right.\Rightarrow y = x + 1 \right.$.

b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của tiệm cận xiên $y = x + 1$ và tiệm cận đứng $x = 1$.

Do đó, tâm đối xứng là điểm $I(1; 2)$.

Vì tâm đối xứng của đồ thị cách đều hai cực trị nên điểm cực tiểu có tọa độ: $\left\{ \begin{array}{l} {2.1 - 0 = 2} \\ {2.2 - 0 = 4} \end{array} \right.$.

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $T\left( {2;4} \right)$.

c) Sai. Quan sát trên $\left( {1; + \infty} \right)$, đồ thị có đi xuống từ trái sang phải nên hàm số không đồng biến trên $\left( {1; + \infty} \right)$.

d) Đúng. Ta có hàm số của đồ thị trên là $y = \dfrac{ax^{2} + bx + c}{x - 1}$.

Đồ thị đi qua O(0; 0) nên ta có $\left. 0 = \dfrac{a.0^{2} + b.0 + c}{0 - 1}\Rightarrow c = 0 \right.$.

Có $y = \dfrac{ax^{2} + bx}{x - 1} = ax + a + b + \dfrac{a + b}{x - 1}$, mà tiệm cận xiên của đồ thị là y = x + 1 nên

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {a + b = 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 0} \end{array} \right. \right.$.

Vậy hàm số có đồ thị trên là $y = \dfrac{x^{2}}{x - 1}$, đạo hàm $y' = \dfrac{x^{2} - 2x}{{(x - 1)}^{2}}$.

Gọi I là trung điểm của AB. Vì các tiếp tuyến tại A, B song song với nhau nên $y'_{x_{A}} = y'_{x_{B}}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\dfrac{x_{A}{}^{2} - 2x_{A}}{{(x_{A} - 1)}^{2}} = \dfrac{x_{B}{}^{2} - 2x_{B}}{{(x_{B} - 1)}^{2}} \right. \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{x_{A}{}^{2} - 2x_{A} + 1 - 1}{{(x_{A} - 1)}^{2}} = \dfrac{x_{B}{}^{2} - 2x_{B} + 1 - 1}{{(x_{B} - 1)}^{2}} \right. \end{array}$

\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{\left(x_A-1\right)^2}=1-\dfrac{1}{\left(x_B-1\right)^2} \) 
\(\Leftrightarrow\left(x_A-1\right)^2=\left(x_B-1\right)^2 \) 
\(\Leftrightarrow x_A-1= \pm\left(x_B-1\right)\)

Loại $x_{A} - 1 = x_{B} - 1$ vì khi đó A trùng B. Suy ra $\left. x_{A} - 1 = 1 - x_{B}\Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 2\Leftrightarrow x_{I} = 1 \right.$.

Xét $\left. y_{A} + y_{B} = \dfrac{x_{A}{}^{2}}{x_{A} - 1} + \dfrac{{(2 - x_{A})}^{2}}{(2 - x_{A}) - 1} = \dfrac{x_{A}{}^{2} - {(2 - x_{A})}^{2}}{x_{A} - 1} = \dfrac{4x_{A} - 4}{x_{A} - 1} = 4\Leftrightarrow y_{I} = 2 \right.$.

Vậy trung điểm I(1; 2) của đoạn thẳng AB là một điểm cố định.

Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Khi đó $d\left( {M,AB} \right) = MH \leq MI$. Dấu “=” xảy ra khi $MI\bot AB$.

Đường thẳng AB qua I(1; 2), nhận $\overset{\rightarrow}{IM} = (3; - 1)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình:

$\left. 3(x - 1) - 1(y - 2) = 0\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\Leftrightarrow y = 3x - 1 \right.$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y = \dfrac{x^{2}}{x - 1}$ và đường thẳng AB là:

$\left. \dfrac{x^{2}}{x - 1} = 3x - 1\Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + 1 = 0\Leftrightarrow x= \dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{2} \right.$.

Suy ra $A\left( {\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2}} \right)$ và $B\left( {\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2};\dfrac{4 - 3\sqrt{2}}{2}} \right)$.

$AB = \sqrt{\left( {\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2} - \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}} \right)^{2} + \left( {\dfrac{4 - 3\sqrt{2}}{2} - \dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2}} \right)^{2}} = 2\sqrt{5}$.

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn