Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; - 1;1)$, $B( - 1;3; - 1)$, $C(5; - 3;4)$.

Câu hỏi số 846982:
Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; - 1;1)$, $B( - 1;3; - 1)$, $C(5; - 3;4)$.

Đúng Sai
a) Tích vô hướng của hai véc tơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$ bằng $- 23$.
b) Góc $\widehat{BAC}$ là góc nhọn.
c) Côsin của góc giữa hai véc tơ $\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}$ bằng $- \dfrac{23}{\sqrt{638}}$.
d) Lấy điểm $M$ trên mặt phẳng $Oxy$ sao cho biểu thức $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm $M$ là $\left( {2; - \dfrac{1}{3};0} \right).$

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:846982
Phương pháp giải

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overset{\rightarrow}{a} = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{b} = \left( {x';y';z'} \right)$ có

+ $\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b} = xx' + yy' + zz'$

+ $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{a};\overset{\rightarrow}{b}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{a}.\overset{\rightarrow}{b}}{\left| \overset{\rightarrow}{a} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{b} \right|} = \dfrac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.\sqrt{{x'}^{2} + {y'}^{2} + {z'}^{2}}}.$

+ Biểu thức $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của trọng tâm $G$ ( của tam giác $ABC$) lên mặt phẳng $Oxy$.

Giải chi tiết

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 3;4; - 2} \right);\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {3; - 2;3} \right)$

a) Tích vô hướng của hai vecto $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{AC}$:

$\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = - 3.3 - 4.2 - 2.3 = - 23$

Mệnh đề ĐÚNG.

b) Vì $\left. \overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = - 23 < 0\Rightarrow\cos\widehat{BAC} < 0 \right.$ do đó $\widehat{BAC}$ là góc tù.

Mệnh đề SAI.

c) Ta có $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB};\overset{\rightarrow}{AC}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC}}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{AC} \right|} = \dfrac{- 23}{\sqrt{29}.\sqrt{22}} = - \dfrac{23}{\sqrt{638}}.$

Mệnh đề ĐÚNG.

d) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó $G\left( {2; - \dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$

Ta có $T = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$.

Khi đó $\left. T_{\min}\Leftrightarrow MG_{\min} \right.$.

Do $G \notin Oxy$ nên $\left. MG_{\min}\Leftrightarrow M \right.$ là hình chiếu của $G$ lên mặt phẳng $Oxy$.

Khi đó tọa độ điểm $M$ là $\left( {2; - \dfrac{1}{3};0} \right).$

Mệnh đề ĐÚNG.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn