Bạn Minh sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích

Câu hỏi số 846990:

Vận dụng

Bạn Minh sử dụng 12 thanh sắt gắn thành một hình hộp chữ nhật với kích thước ba cạnh lần lượt là 20cm, 30cm, 60cm. Vào lúc ánh nắng mặt trời vuông góc với mặt sàn, Minh để hình hộp đó trong không trung. Các cạnh hình hộp được in bóng là các đoạn thẳng trên mặt sàn. Giả sử rằng các tia nắng song song với nhau và mặt sàn phẳng. Giá trị lớn nhất của tổng độ dài bóng tất cả các cạnh hình hộp chữ nhật (đơn vị $cm$) có dạng $a + b\sqrt{13}$ $\left( {a;b \in {\mathbb{N}}^{*}} \right)$. Tính $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846990

Phương pháp giải

Giả sử ánh nắng chiếu theo phương thẳng đứng (vuông góc với mặt sàn).

Gọi góc tạo bởi ba cạnh của hình hộp với phương thẳng đứng lần lượt là $\alpha_{1};\alpha_{2};\alpha_{3}.$

Độ dài bóng của một đoạn thẳng có độ dài $L$ và tạo với phương thẳng đứng góc $\alpha$ là $L' = L.\sin\alpha$

Giải chi tiết

Tổng độ dài bóng của tất cả các cạnh là $S = 4\left( {l_{1}\sin\alpha_{1} + l_{2}\sin\alpha_{2} + l_{3}\sin\alpha_{3}} \right)$.

Gọi $c_{1};c_{2};c_{3}$ lần lượt là cosin của ba góc tạo bởi phương thẳng đứng và ba cạnh. Khi đó

$\left\{ \begin{array}{l} {c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} = 1} \\ \left. \cos\alpha_{i} = \left| c_{i} \right|\Rightarrow\sin\alpha_{i} = \sqrt{1 - c_{i}^{2}} \right. \end{array} \right.$

Đặt $x = \sin\alpha_{1};y = \sin\alpha_{2};z = \sin\alpha_{3}$. Ta có hệ thức:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = \left( {1 - c_{1}^{2}} \right) + \left( {1 - c_{2}^{2}} \right) + \left( {1 - c_{3}^{2}} \right)$

$= 3 - \left( {c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2}} \right) = 2$

Đồng thời $c_{i}^{2} \geq 0$ nên $x,y,z \leq 1$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 20x + 30y + 60z$ với điều kiện

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$ và $0 \leq x,y,z \leq 1$

Xét vecto $\overset{\rightarrow}{u} = \left( {20;30;60} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{v} = \left( {x;y;z} \right)$.

Giá trị lớn nhất của biểu thức đạt được tại $z = 1$ nên khi đó $x^{2} + y^{2} = 1$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$20x + 30y \leq \sqrt{20^{2} + 30^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{400 + 900} \cdot 1 = 10\sqrt{13}$

Vậy tổng độ dài bóng lớn nhất là

$S_{\max} = 4.\left( {60.1 + 10\sqrt{13}} \right) = 240 + 40\sqrt{13}.$

Do đó $a = 240$; $b = 40$ nên $a + b = 280$.

Đáp án cần điền là: 280

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.