(1,5 điểm)a) Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 100.

Câu hỏi số 847266:

Vận dụng

(1,5 điểm)

a) Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 100. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên $a$ thuộc tập $S$. Tính xác suất sao cho số $a$ được chọn thoả mãn các nghiệm của phương trình $x^{2} - ax + 2a + 10 = 0$ đều là số nguyên.

b) Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;\ldots;100} \right\}$ và tập hợp $B$ là tập hợp con chứa 11 phần tử của tập hợp $A$. Chứng minh rằng tập hợp $B$ luôn chứa ba số $a,b,c$ phân biệt sao cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847266

Phương pháp giải

a) Gọi $m,n$ là hai nghiệm nguyên của phương trình $\left( {m \geq n} \right)$.

Từ viet tìm hệ thức liên hệ m, n kết hợp điều kiện nguyên tìm m, n

b) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng tức là tập B không thể chứa bộ ba số tạo thành tam giác từ đó suy ra vô lý.

Giải chi tiết

a) Số các kết quả có thể xảy ra là $n\left( \text{Ω} \right) = 201$.

$\text{Δ} = a^{2} - 8a - 40 \geq 0$

Gọi $m,n$ là hai nghiệm nguyên của phương trình $\left( {m \geq n} \right)$.

Theo Viet ta có $\ \left\{ \begin{array}{l} {m + n = a} \\ {mn = 2a + 10} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow mn = 2\left( {m + n} \right) + 10\Rightarrow\left( {m - 2} \right)\left( {n - 2} \right) = 14 \right.$.

Vì $m - 2$ và $n - 2$ là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau

TH1: $\left\{ \begin{array}{l} {m - 2 = 14} \\ {n - 2 = 1} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 16} \\ {n = 3} \end{array}\Rightarrow a = 19 \right. \right.$ (nhận)

TH2: $\left\{ \begin{array}{l} {m - 2 = 7} \\ {n - 2 = 2} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 9} \\ {n = 4} \end{array}\Rightarrow a = 13 \right. \right.$ (nhận)

TH3: $\left\{ \begin{array}{l} {m - 2 = - 2} \\ {n - 2 = - 7} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 0} \\ {n = - 5} \end{array}\Rightarrow a = - 5 \right. \right.$ (nhận)

TH4: $\left\{ \begin{array}{l} {m - 2 = - 1} \\ {n - 2 = - 14} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m = 1} \\ {n = - 12} \end{array}\Rightarrow a = - 11 \right. \right.$ (nhận)

Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố là 4

Vậy xác suất cần tìm là $\dfrac{4}{201}$.

b) Gọi $a_{i},i = 1,11$ với $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{11}$ là các phần tử của tập hợp $B$

Giả sử các phần tử của tập $B$ đều không có bộ 3 số nào là độ dài ba cạnh của một tam giác

Do $a_{1} \geq 1$ nên $a_{2} \geq 2$ và $a_{3} \geq a_{1} + a_{2} = 3$; $a_{4} \geq a_{2} + a_{3} = 5,\ldots,a_{11} \geq a_{10} + a_{9} = 89 + 55 = 144\ $ (vô lý)

Vậy $B$ luôn chứa ba số $a,b,c$ phân biệt sao cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link