(1,5 điểm)Số nguyên dương $n$ được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho

Câu hỏi số 847265:

Vận dụng

(1,5 điểm)

Số nguyên dương $n$ được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho $n = a^{2} + 7b^{2}$.

a) Tìm hai số đẹp có hai chữ số và chia hết cho 11.

b) Chứng minh rằng nếu $n$ là số đẹp và $n$ chia hết cho 11 thì $\dfrac{n}{11}$ cũng là số đẹp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847265

Phương pháp giải

a) Kiểm tra 11, 22, 33, … để tìm 2 số đẹp

b) Phân tích $\left. n = a^{2} + 7b^{2} = a^{2} + 11b^{2} - 4b^{2} \vdots 11\Rightarrow a^{2} - 4b^{2} \vdots 11\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a - 2b \vdots 11} \\ {a + 2b \vdots 11} \end{array} \right. \right.$

Phân tích $\dfrac{n}{11} = \dfrac{11\left( {a^{2} + 7b^{2}} \right)}{121} = \dfrac{{(2a + 7b)}^{2} + 7{(a - 2b)}^{2}}{121}$ và chứng minh là 1 số đẹp

Giải chi tiết

a) Ta có $11 = 2^{2} + 7.1^{2}$ nên 11 là số đẹp và chia hết cho 11

$44 = 4^{2} + 7.4^{2}$ nên 44 là số đẹp và chia hết cho 11

Ngoài ra các số 77, 88, 99 cũng là các số đẹp và chia hết cho 11

b) Ta có $\left. n = a^{2} + 7b^{2} = a^{2} + 11b^{2} - 4b^{2} \vdots 11\Rightarrow a^{2} - 4b^{2} \vdots 11\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a - 2b \vdots 11} \\ {a + 2b \vdots 11} \end{array} \right. \right.$

Vì $n = a^{2} + 7b^{2} = a^{2} + 7{( - b)}^{2}$ nên ta chỉ cần xét một trường hợp $a - 2b \vdots 11$

$\dfrac{n}{11} = \dfrac{11\left( {a^{2} + 7b^{2}} \right)}{121} = \dfrac{{(2a + 7b)}^{2} + 7{(a - 2b)}^{2}}{121}$

Mà $2a + 7b = 2\left( {a - 2b} \right) + 11b$ và $a - 2b$ đều chia hết 11

Nên $\dfrac{n}{11} = x^{2} + 7y^{2}$ với $x = \dfrac{2a + 7b}{11}$ và $y = \dfrac{a - 2b}{11}$ là các số nguyên.

Vậy $\dfrac{n}{11}$ là số đẹp.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link