Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy $ABCD$ và $G$

Câu hỏi số 849916:

Thông hiểu

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy $ABCD$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Biết cạnh $SA = 4,\,\, AB = 2\sqrt{2}$. Hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Những phương án nào dưới đây đúng?

$A\left( {0;2;0} \right)$

B. $\overset{\rightarrow}{DG} = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \right)$

C. Nếu $E\left( {a;b;c} \right)$ là giao điểm của $CG$ và $\left( {SBD} \right)$ thì $ac = \sqrt{3}$

D. Gọi $K\left( {0;m;n} \right)$ là điểm thỏa mãn $KG + KB$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó $m^{2} + n^{2} = 1$

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849916

Phương pháp giải

- Tìm độ dài đoạn $OA$ từ đó suy ra tọa độ điểm $A$

- Tìm tọa độ 3 điểm $S,\,\, A,\,\, B$, từ đó tìm được tọa độ trọng tâm $G$

- $E \in \,\, CG$ nếu $\overset{\rightarrow}{CE} = k\overset{\rightarrow}{CG}\,\,\left( {k \in {\mathbb{R}}} \right)$

- $K \in \left( {SAC} \right)$ nên $KB = KD$

Giải chi tiết

1. Ta có: $AC = AB.\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.\sqrt{2} = 4$

Do đó $AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.4 = 2$

Suy ra $A\left( {0; - 2;0} \right)$

2. Ta có: $OD = OA = 2$

Vì $D$ thuộc tia đối của tia $Ox$ nên $D\left( {- 2;0;0} \right)$

Tương tự $B\left( {2;0;0} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$ có $SO = \sqrt{SA^{2} - OA^{2}} = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}$

Vì $S$ thuộc tia $Oz$ nên $S\left( {0;0;2\sqrt{3}} \right)$

Tọa độ trọng tâm $G$ là $G\left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \right)$

Khi đó $\overset{\rightarrow}{DG} = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \right)$

3. Vì $E = CG \cap \left( {SBD} \right)$ nên $E \in \left( {SBD} \right) = \left( {Oxz} \right)$

Do đó $E\left( {a;0;c} \right)$

Ta có: $C\left( {0;2;0} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{CG} = \left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{8}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \right)$

$\overset{\rightarrow}{CE} = \left( {a; - 2;c} \right)$

Vì $\overset{\rightarrow}{CG}$ và $\overset{\rightarrow}{CE}$ cùng phương nên $\dfrac{a}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{- 2}{- \dfrac{8}{3}} = \dfrac{c}{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}$

Suy ra $a = \dfrac{1}{2},\,\, c = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy $ac = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

4. Vì $\left( {0;m;n} \right)$ nên $K \in \left( {Oyz} \right)$ hay $K \in \left( {SAC} \right)$

Vì $K \in \left( {SAC} \right)$ nên $KB = KD$

Khi đó $KG + KB = KG + KD$

$KG + KD$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $K,\,\, G,\,\, D$ thẳng hàng

Ta có: $\overset{\rightarrow}{DK} = \left( {2;m;n} \right),\,\,\overset{\rightarrow}{DG} = \left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} \right)$

$K,\,\, G,\,\, D$ thẳng hàng khi $\overset{\rightarrow}{DK},\,\,\overset{\rightarrow}{DG}$ cùng phương

Do đó $\left. \dfrac{2}{\dfrac{8}{3}} = \dfrac{m}{- \dfrac{2}{3}} = \dfrac{n}{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\Rightarrow m = - \dfrac{1}{2},\,\, n = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right.$

Suy ra $m^{2} + n^{2} = \left( {- \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} = 1$

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.