Cho hai hộp bóng là A và B chỉ đựng các quả bóng đỏ và trắng, trong đó hộp B đựng 4 quả

Câu hỏi số 849917:

Vận dụng

Cho hai hộp bóng là A và B chỉ đựng các quả bóng đỏ và trắng, trong đó hộp B đựng 4 quả bóng đỏ và 5 quả bóng trắng, tổng số bóng hai hộp không quá 20. Xét hai phép thử ngẫu nhiên sau:

- Phép thử thứ nhất: Lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp A bỏ vào hộp B rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp B. Bằng thực nghiệm người ta biết được rằng khả năng lấy được quả bóng đỏ từ hộp B bằng $\dfrac{33}{70}$

- Phép thử thứ hai: Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp A bỏ vào hộp B. Sau đó tiếp tục lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp B.

Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Trong phép thử thứ nhất, nếu lấy được quả bóng đỏ từ hộp A bỏ sang hộp B thì xác suất lấy được quả bóng trắng từ hộp B bằng $0,4$

B. Hộp thứ nhất đựng 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng trắng.

C. Trong phép thử thứ hai, xác suất để lấy được 2 quả bóng đỏ từ hộp B bằng $\dfrac{166}{1155}$

D. Biết 2 quả bóng lấy được từ hộp B là 2 quả bóng đỏ, xác suất để cả 2 quả bóng đó vốn thuộc hộp A bằng $\dfrac{5}{128}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849917

Phương pháp giải

Gọi số bóng đỏ, trắng trong hộp A tương ứng là $x,\,\, y\,\,\left( {x,\,\, y \in {\mathbb{N}}*} \right)$

1, 2. Gọi $A$ là biến cố “lấy được 1 quả bóng đỏ từ hộp A”

B là biến cố “lấy được 1 quả bóng đỏ từ hộp B”

Từ xác suất thực nghiệm và tính nguyên của $x,\,\, y$ ta tính được $x = 5,\,\, y = 2$

3. Xét các trường hợp lấy được 2 bóng đỏ, 1 đỏ 1 trắng, 2 trắng từ hộp A chuyển sang hộp B

4. Gọi $X$ là biến cố “2 quả bóng lấy được từ hộp B là 2 quả bóng đỏ”

$Y$ là biến cố “2 quả bóng lấy được thuộc hộp A”

$P\left( Y \middle| X \right) = \dfrac{P\left( {YX} \right)}{P(X)}$

Giải chi tiết

Gọi số bóng đỏ, trắng trong hộp A tương ứng là $x,\,\, y\,\,\left( {x,\,\, y \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Ta có: $x + y + 4 + 5 \leq 20$ nên $x + y \leq 11$

Gọi $A$ là biến cố “lấy được 1 quả bóng đỏ từ hộp A”

B là biến cố “lấy được 1 quả bóng đỏ từ hộp B”

Ta có: $\left. P(A) = \dfrac{x}{x + y}\Rightarrow P\left( \overline{A} \right) = \dfrac{y}{x + y} \right.$

$P\left( B \middle| A \right) = \dfrac{5}{10},\,\, P\left( B \middle| \overline{A} \right) = \dfrac{4}{10}$

Ta có: $P(B) = P(A).P\left( B \middle| A \right) + P\left( \overline{A} \right).P\left( B \middle| \overline{A} \right) = \dfrac{x}{x + y}.\dfrac{5}{10} + \dfrac{y}{x + y}.\dfrac{4}{10} = \dfrac{33}{70}$

Khi đó $\dfrac{x}{x + y} = \dfrac{5}{7}$ hay $2x = 5y$

Suy ra $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{x + y}{7} \leq \dfrac{11}{7}$

Mà $x,\,\, y \in {\mathbb{N}}*$ nên $x = 5,\,\, y = 2$

1. Xác suất lấy được quả bóng trắng từ hộp B là $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$

2. Hộp thứ nhất có 5 bóng đỏ, 2 bóng trắng

3. Trường hợp 1: Lấy được 2 quả bóng đỏ tử hộp

Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ từ hộp A là $\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{7}^{2}}$

Khi đó xác suất lấy được 2 quả bóng trắng từ hộp B là $\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{11}^{2}}$

Xác suất lấy được 2 quả bóng trắng từ hộp A là $\dfrac{C_{2}^{2}}{C_{7}^{2}}$

Khi đó xác suất lấy được 2 quả bóng trắng từ hộp B là $\dfrac{C_{4}^{2}}{C_{11}^{2}}$

Xác suất lấy được 1 quả bóng trắng, 1 quả bóng đỏ từ hộp A là $\dfrac{C_{5}^{1}.C_{2}^{1}}{C_{7}^{2}}$

Khi đó xác suất lấy được 2 quả bóng trắng từ hộp B là $\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{11}^{2}}$

Vậy xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ từ hộp B trong phép thử thứ hai là

$\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{7}^{2}}.\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{11}^{2}} + \dfrac{C_{2}^{2}.C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}.C_{11}^{2}} + \dfrac{C_{5}^{1}.C_{2}^{1}}{C_{7}^{2}}.\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{11}^{2}} = \dfrac{256}{1155}$

4. Gọi $X$ là biến cố “2 quả bóng lấy được từ hộp B là 2 quả bóng đỏ”

$Y$ là biến cố “2 quả bóng lấy được thuộc hộp A”

Ta có: $P\left( Y \middle| X \right) = \dfrac{P\left( {YX} \right)}{P(X)} = \dfrac{\dfrac{C_{5}^{2}}{C_{7}^{2}}.\dfrac{1}{C_{11}^{2}}}{\dfrac{256}{1155}} = \dfrac{5}{128}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.