Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x) = \log_{3}x$ và $g(x) = \log_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}x$ có đồ thị lần lượt là $\left(

Câu hỏi số 849918:
Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \log_{3}x$ và $g(x) = \log_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}x$ có đồ thị lần lượt là $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Đáp án đúng là: E

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:849918
Phương pháp giải

2. Giải bất phương trình logarit

3. Xét $f(3),\,\, g(3)$ để suy ra 2 đồ thị không đối xứng qua $\left( C_{1} \right),\,\,\left( C_{2} \right)$

4. Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm $y_{P}$ theo $x_{P},\,\, y_{Q}$ theo $x_{Q}$

Tính $PQ$ theo $x_{P},\,\, x_{Q}$

Từ đó tìm được $x_{P},\,\, x_{Q}$, tìm được tọa độ giao điểm của $(d)$ và $\left( C_{1} \right)$

Sau đó tìm $m$

Giải chi tiết

1. Tập xác định $D = \left( {0; + \infty} \right)$

2. Ta có:

$\begin{array}{l} {2f(x) - g(x) \leq 4} \\ \left. \Leftrightarrow 2\log_{3}x + 2\log_{3}x \leq 4 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log_{3}x \leq 1 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x \leq 3 \right. \end{array}$

Kết hợp với điều kiện suy ra $x \in \left\{ {1;2;3} \right\}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên

3. Xét $f(3) = \log_{3}3 = 1,\,\, g(3) = \log_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}(3) = - 2$

Do đó $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$ không đối xứng nhau qua trục $Ox$

4.

Xét hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C_{1} \right)$: $- \dfrac{5}{6}x_{P} + m = \log_{3}x_{P}\,\,(1)$

Xét hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C_{2} \right)$: $- \dfrac{5}{6}x_{P} + m = \log_{3}x_{Q}\,\,(2)$

Ta có: $PQ^{2} = \left( {x_{Q} - x_{P}} \right)^{2} + \left( {- \dfrac{5}{6}x_{Q} + \dfrac{5}{6}x_{P}} \right)^{2} = \dfrac{61}{36}\left( {x_{P} - x_{Q}} \right)^{2}$

Theo bài ra ta có $\left. \dfrac{61}{36}\left( {x_{P} - x_{Q}} \right)^{2} = 61\Rightarrow\left( {x_{Q} - x_{P}} \right)^{2} = 36\Rightarrow x_{Q} - x_{P} = 6 \right.$

Lấy $(2) - (1)$ ta được:

$\begin{array}{l} {- \dfrac{5}{6}\left( {x_{Q} - x_{P}} \right) = - 2\log_{3}\left( {6 + x_{P}} \right) - \log_{3}x_{P}} \\ \left. \Rightarrow - 5 = - \left\lbrack {\log_{3}\left( {6 + x_{P}} \right)^{2} + \log_{3}x_{P}} \right\rbrack \right. \\ \left. \Rightarrow 5 = \log_{3}\left( {6 + x_{P}} \right)^{2}.x_{P} \right. \\ \left. \Rightarrow\left( {6 + x_{P}} \right)^{2}.x_{P} = 243 \right. \\ \left. \Rightarrow x_{P}^{3} + 12x_{P}^{2} + 36x_{P} - 243 = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow x_{P} = 3 \right. \\ \left. \Rightarrow y_{P} = 1 \right. \end{array}$
Do đó đường thẳng $(d):y = - \dfrac{5}{6}x + m$ đi qua $\left( {3;1} \right)$

Suy ra $\left. 1 = - \dfrac{5}{6}.3 + m\Rightarrow m = 3,5 \right.$

5. Vì $A \in \left( C_{1} \right)$ nên $A\left( {x_{A};\log_{3}x_{A}} \right)$

$B \in \left( C_{2} \right)$ nên $B\left( {x_{B}; - 2\log_{3}x_{B}} \right)$

Vì $C$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 3\,\,(1)} \\ {\dfrac{\log_{3}x_{A} - 2\log_{3}x_{B}}{2} = 0\,\,(2)} \end{array} \right.$

Từ (1) ta được $x_{B} = 6 - x_{A}$

Từ (2) ta được $\left. \log_{3}x_{A} = 2\log_{3}x_{B} = \log_{3}x_{B}^{2}\Rightarrow x_{A} = x_{B}^{2} \right.$

Thay (1) vào phương trình trên ta được $x_{A} = \left( {6 - x_{A}} \right)^{2}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow x_{A} = 36 - 12x_{A} + x_{A}^{2} \right. \\ \left. \Rightarrow x_{A}^{2} - 13x_{A} + 36 = 0 \right. \\ \left. \Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left. x_{A} = 9\Rightarrow x_{B} = - 3\,\,(L) \right. \\ \left. x_{A} = 4\Rightarrow x_{B} = 2\,\,\left( {TM} \right) \right. \end{array} \right. \right. \end{array}$

5. Ta có: $S_{OAB} = 2S_{OAC} = 2.\dfrac{1}{2}.\left| y_{A} \right|.\left| x_{C} \right| = 3\log_{3}4 = \log_{3}64$

Đáp án cần chọn là: E

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn