Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{a - 1} + \dfrac{3\sqrt{a} + 5}{a\sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}} \right) \cdot

Câu hỏi số 851697:

Vận dụng

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{a - 1} + \dfrac{3\sqrt{a} + 5}{a\sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}} \right) \cdot \left( {\dfrac{a + 1}{4\sqrt{a}} - \dfrac{1}{2}} \right)$ với $a > 0,a \neq 1$.

a) Rút gọn biểu thức $P$.

b) Chứng minh $P > \dfrac{3}{a + \sqrt{a} + 1}$, với mọi $a > 0,a \neq 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851697

Phương pháp giải

Bước 1: Phân tích các mẫu số thành nhân tử

Bước 2: Quy đồng và rút gọn ngoặc thứ nhất

Phương pháp chung để chứng minh bất đẳng thức dạng $A > B$ là xét hiệu và so sánh với 0

Giải chi tiết

a. ĐKXĐ: $a > 0,a \neq 1$. Ta có:

$\begin{array}{l} {P = \left( {\dfrac{1}{a - 1} + \dfrac{3\sqrt{a} + 5}{a\sqrt{a} - a - \sqrt{a} + 1}} \right) \cdot \left( {\dfrac{a + 1}{4\sqrt{a}} - \dfrac{1}{2}} \right)} \\ {= \left( {\dfrac{1}{a - 1} + \dfrac{3\sqrt{a} + 5}{\left( {\sqrt{a} - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} \right) \cdot \left( \dfrac{a + 1 - 2\sqrt{a}}{4\sqrt{a}} \right)} \end{array}$

$\begin{array}{l} {~ = \left( \dfrac{\sqrt{a} - 1 + 3\sqrt{a} + 5}{\left( {\sqrt{a} - 1} \right)\left( {a - 1} \right)} \right) \cdot \dfrac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{4\sqrt{a}}} \\ {= \dfrac{4\left( {\sqrt{a} + 1} \right){(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}\left( {\sqrt{a} + 1} \right) \cdot 4\sqrt{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}} \end{array}$

b. Thật vậy, ta có

Conversion failed

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link