1) Giả sử $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ nhận số hữu tỉ

Câu hỏi số 851701:

Vận dụng

1) Giả sử $a$ và $b$ là các số nguyên sao cho phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ nhận số hữu tỉ $\dfrac{p}{q}$ làm nghiệm ( $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh $p$ chia hết cho $q$.

2) Tìm tất cả các số hựu tỉ dương $x,y$ sao cho $xy$ và $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ đều là các số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851701

Phương pháp giải

1) Thay $x = \dfrac{p}{q}$ vào phương trình, nhân $q^{2}$ để khử mẫu đưa về phương trình số nguyên.

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng và $(p,q) = 1$ để suy ra $q = 1$ (tức nghiệm là số nguyên).

2) Đặt $x,y$ là phân số tối giản, từ giả thiết $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \in {\mathbb{Z}}$ suy ra $x,y$ buộc phải là số nguyên dương.

Sử dụng phương pháp chặn (đánh giá): Vì $x,y \geq 1$ nên $0 < \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \leq 2$.

Xét hai trường hợp giá trị nguyên là 1 và 2 để tìm ra nghiệm $(1,1)$ và $(2,2)$.

Giải chi tiết

1) Ta thấy $\dfrac{p}{q}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ nên $\left( \dfrac{p}{q} \right)^{2} + a \cdot \dfrac{p}{q} + b = 0$.

Suy ra $p^{2} + apq + bq^{2} = 0$, nên $p^{2} \vdots q$ mà $\left( {p,q} \right) = 1$ dẫn đến $q = 1$.

Như vậy $p$ chia hết cho $q$.

2) Giả sử tồn tại $x,y$ thoả mãn điều kiện bài toán.

Đặt $x = \dfrac{a}{b},y = \dfrac{c}{d}$, với $\left( {a,b} \right) = 1,\left( {c,d} \right) = 1,a,b,c,d$ là các số nguyên dương.

Khi đó: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{b}{a} + \dfrac{d}{c} = \dfrac{bc + ad}{ac}$ nguyên dương nên $ac \mid bc + ad$.

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l} {a \mid bc + ad} \\ {c \mid bc + ad} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a \mid bc} \\ {c \mid ad} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a \mid c} \\ {c \mid a} \end{array}\Leftrightarrow a = c \right. \right. \right.$.

Mà $xy = \dfrac{ac}{bd}$ nên $bd \mid ac$ hay $\left. b \mid a^{2}\Rightarrow b = 1 \right.$, do $\left( {a,b} \right) = 1$.

Tương tự $d = 1$. Như vậy $x,y$ nguyên dương. Ta có: $1 \leq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \leq \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2$.

Trường hợp 1: $\left. \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2\Leftrightarrow x = y = 1 \right.$. (thoả mãn).

Trường hợp 2: $\left. \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\Leftrightarrow x + y = xy\Leftrightarrow 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\Leftrightarrow x = y = 2 \right.$. (thoả mãn).

Như vậy các bộ $\left( {x,y} \right)$ thoả mãn bài toán là: $\left( {1,1} \right)$ và $\left( {2,2} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link