1) Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{\left( {2\sqrt{3} - 1} \right)\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}{\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} -

Câu hỏi số 851893:

Vận dụng

1) Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{\left( {2\sqrt{3} - 1} \right)\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}{\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} - 2\sqrt{5}}$.

2) Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $2xy = x + y$. Chứng minh rằng:

а) $xy \geq 1$;

b) $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} \geq \sqrt{{(x - y)}^{2} + 8}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851893

Phương pháp giải

1) Biến đổi căn bậc 2 về dạng $\sqrt{a^{2}} = |a|$ và rút gọn

2) a) Áp dụng bất đẳng thức

b) Chứng minh tương đương để suy ra luôn đúng

Giải chi tiết

1) Ta có: $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{12 + 4\sqrt{3} + 1} = 2\sqrt{3} + 1$

$\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} = \sqrt{20 + 12\sqrt{5} + 9} = 2\sqrt{5} + 3$

Suy ra $A = \dfrac{\left( {2\sqrt{3} - 1} \right)\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}{\sqrt{29 + 12\sqrt{5}} - 2\sqrt{5}} = \dfrac{\left( {2\sqrt{3} - 1} \right)\left( {2\sqrt{3} + 1} \right)}{2\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5}} = \dfrac{12 - 1}{3} = \dfrac{11}{3}$.

2) a) Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM} - \text{GM}$ ta có: $2xy = x + y \geq 2\sqrt{xy}$.

Vì $x,y > 0$ nên $\left. \sqrt{xy} \geq 1\Leftrightarrow xy \geq 1 \right.$.

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

Conversion failed

Nếu $6 - 2xy < 0$ thì bất đẳng thức đúng, ngược lại thì

Conversion failed

$\left. \Leftrightarrow\left( {xy - 1} \right)\left( {xy + 2} \right) \geq 0 \right.$ (luôn đúng vì $xy \geq 1$)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link