1) Cho phương trình $x^{2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0(1)$, với $m$ là tham số.a) Giải phương

Câu hỏi số 851894:

Vận dụng

1) Cho phương trình $x^{2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0(1)$, với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình (1) với $m = 1$.

b) Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $\left( {x_{1}^{2} - mx_{1} + m} \right)\left( {x_{2}^{2} - mx_{2} + m} \right) = 2.$

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + 8y^{2} = 12} \\ {x^{3} + 2xy^{2} + 12y = 0} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:851894

Phương pháp giải

1) a) Thay $m = 1$ giải phương trình

b) Phương trình có 2 nghiệm khi $\Delta \geq 0$

Do $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của (1) nên $\left\{ {\begin{array}{l} {x_{1}^{2} - mx_{1} + m = x_{1} + 4} \\ {x_{2}^{2} - mx_{2} + m = x_{2} + 4} \end{array}.} \right.$

Thay vào $\left( {x_{1}^{2} - mx_{1} + m} \right)\left( {x_{2}^{2} - mx_{2} + m} \right) = 2$ tìm m

2) Thế 1 vào (2) và giải phương trình

Giải chi tiết

a) Với $m = 1$ thì (1) trở thành $\left. x^{2} - \left( {1 + 1} \right)x + 1 - 4 = 0\Leftrightarrow x^{2} - 2x - 3 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array} \right. \right.$

Vậy với $m = 1$ thì phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {- 1;3} \right\}$.

b) (1) là phương trình bậc hai có $\text{Δ} = {(m - 1)}^{2} - 4\left( {m - 4} \right) = m^{2} - 6m + 17 = {(m - 3)}^{2} + 8 > 0.$

Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ với mọi $m$.

Ta có $\left. \ x^{2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 4 = 0\Leftrightarrow x^{2} - mx - x + m - 4\Leftrightarrow x^{2} - mx + m = x + 4.\ \right.$

Do $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của (1) nên $\left\{ {\begin{array}{l} {x_{1}^{2} - mx_{1} + m = x_{1} + 4} \\ {x_{2}^{2} - mx_{2} + m = x_{2} + 4} \end{array}.} \right.$

Thay lại yêu cầu bài toán ta được $\left( {x_{1} + 4} \right)\left( {x_{2} + 4} \right) = 2$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow x_{1}x_{2} + 4\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 16 = 2 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x_{1}x_{2} + 4\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 14 = 0 \right. \end{array}$

Theo định lí Viète ta có $x_{1} + x_{2} = m + 1$ và $x_{1}x_{2} = m - 4$.

Thay vào (2) ta được $\left. m - 4 + 4\left( {m + 1} \right) + 14 = 0\Leftrightarrow m = \dfrac{- 14}{5} \right.$.

Vậy $m = \dfrac{- 14}{5}$.

2) $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + 8y^{2} = 12} \\ {x^{3} + 2xy^{2} + 12y = 0} \end{array} \right.$

Thế $12 = x^{2} + 8y^{2}$ vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình

$\begin{array}{l} {x^{3} + 2xy^{2} + 12y = 0} \\ \left. \Leftrightarrow x^{3} + 2xy^{2} + \left( {x^{2} + 8y^{2}} \right)y = 0 \right. \\ \left. ~\Leftrightarrow x^{3} + x^{2}y + 2xy^{2} + 8y^{3} = 0(1). \right. \end{array}$

Với $y = 0$ ta nhận thấy không thỏa hệ.

Với $y \neq 0$ ta biến đổi phương trình (1) ta có $\left( \dfrac{x}{y} \right)^{3} + \left( \dfrac{x}{y} \right)^{2} + 2\left( \dfrac{x}{y} \right) + 8 = 0$

Đặt $\dfrac{x}{y} = t$ ta được phương trình $\left. t^{3} + t^{2} + 2t + 8 = 0\Leftrightarrow\left( {t + 2} \right)\left( {t^{2} - t + 4} \right) = 0 \right.$.

Vì $t^{2} - t + 4 = \left( {t - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \dfrac{15}{4} > 0$.

Do đó $t = - 2$ hay $x = - 2y$.

Thế $x = - 2y$ vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có $\left. 12y^{2} = 12\Leftrightarrow y = \pm 1 \right.$.

Với $y = 1$ thì $x = - 2$.

Với $y = - 1$ thì $x = 2$.

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\left( {- 2;1} \right);\left( {2; - 1} \right)} \right\}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link