Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{3}\left( {\sqrt{x^{2} - 4} + x} \right)}{2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2}$

Câu hỏi số 855624:

Vận dụng

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{3}\left( {\sqrt{x^{2} - 4} + x} \right)}{2x^{3} + 3x^{2} - 3x - 2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855624

Phương pháp giải

Tìm TXĐ của hàm số, xác định tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số dựa vào định nghĩa.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x \ge 2\end{array} \right.$

TXĐ của hàm số: $D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)$

+) Tiệm cận ngang:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} + 1} \right)}}{{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}}} = + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x\left( { - \sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} + 1} \right)}}{{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}}} = 0$

Vậy $y = 0$ là tiệm cận ngang.

+) Tiệm cận đứng: Xét $x = - 2,$ có

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \dfrac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \dfrac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} + x} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \dfrac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}\left( {\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} - 2} \right)}}{{{0^ - }.\left( { - 3} \right)\left( { - 3} \right)}} = - \infty $

Vậy $x = - 2$ là tiệm cận đứng.

+) Tiệm cận xiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4} + x}}{x}}}{{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} + 1}}{{2 + \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{{{x^3}}}}} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}\sqrt {{x^2} - 4} + {x^4} - (2{x^4} + 3{x^3} - 3{x^2} - 2x)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}}$

$\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 4} - x} \right) - 3{x^3} + 3{x^2} + 2x}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3}\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} + x}} - 3{x^3} + 3{x^2} + 2x}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 3x - 2}} = - \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $y = x - \dfrac{3}{2}$ là tiệm cận xiên.

Đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.