Cho bất phương trình $\log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right).\log_{2}\left( {2^{x + 1} - 2} \right) \leq m$ (*), với
Cho bất phương trình $\log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right).\log_{2}\left( {2^{x + 1} - 2} \right) \leq m$ (*), với $m$ là tham số. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A; C; E
Quảng cáo
1. Tìm ĐKXĐ của hàm số logarit.
2. Đặt $t = \log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right)$, đưa (*) về dạng bất phương trình bậc hai ẩn t. Từ đó tìm được m để bất phương trình (*) có nhiều hơn một nghiệm.
3. Thay $m = 20$ rồi giải bất phương trình.
1. Đúng.
Bất phương trình xác định khi $\left. \left\{ \begin{array}{l} {2^{x} - 1 > 0} \\ {2^{x + 1} - 2 > 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2^{x} > 1} \\ {2^{x + 1} > 2} \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2^{x} > 1} \\ {2^{x}.2 > 2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x > 0 \right.$
2. Sai
$\left. (*)\Leftrightarrow\log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right).\log_{2}\left\lbrack {2\left( {2^{x} - 2} \right)} \right\rbrack \leq m \right.$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right).\left\lbrack {1 + \log_{2}\left( {2^{x} - 2} \right)} \right\rbrack \leq m \right.$
Đặt $t = \log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right)$. Khi đó bất phương trình trở thành: $t\left( {1 + t} \right) \leq m$$\left. \Leftrightarrow t^{2} + t \leq m\,\,\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right) \right.$
Xét $f(t) = t^{2} + t\,\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$
$\left. t = \log_{2}\left( {2^{x} - 1} \right)\Rightarrow 2^{x} - 1 = 2^{t} \right.$$\left. \Rightarrow 2^{x} = 2^{t} + 1\Rightarrow x = \log_{2}\left( {2^{t} + 1} \right) \right.$
Với mỗi giá trị t, có đúng 1 giá trị x.
Bất phương trình (*) có nhiều hơn một nghiệm khi và chỉ khi $m > - \dfrac{1}{4}$
3. Đúng
Với $m = 20$ ta có: $t^{2} + t \leq 20$$\left. \Leftrightarrow t^{2} + t - 20 \leq 0 \right.$$\left. \Leftrightarrow - 5 \leq t \leq 4 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {2^{- 5} + 1} \right) \leq x \leq \log_{2}\left( {2^{4} + 1} \right) \right.$
$\left. \Leftrightarrow 0,04 \leq x \leq 4,09 \right.$
$\Rightarrow$Có 4 nghiệm nguyên.
4. Sai
$\left. m \in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow m \geq 1 \right.$$\left. \Rightarrow(1) \right.$ luôn có nghiệm: $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ trong đó $t_{1},t_{2}$ là các nghiệm của tam thức $t^{2} + t - m$
$\left. \Rightarrow t_{1} = \dfrac{- 1 - \sqrt{1 + 4m}}{2};t_{2} = \dfrac{- 1 + \sqrt{1 + 4m}}{2} \right.$
$\left. \Rightarrow\log_{2}\left( {2^{t_{1}} + 1} \right) \leq x \leq \log_{2}\left( {2^{t_{2}} + 1} \right) \right.$
$\left. \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\} \right.$$\Rightarrow$ Có 10 giá trị thỏa mãn.
5. Đúng
Ta có: $\log_{2}\left( {2^{t_{1}} + 1} \right) \leq x \leq \log_{2}\left( {2^{t_{2}} + 1} \right)$
Để có 3 nghiệm nguyên $3 \leq \log_{2}\left( {2^{t_{2}} + 1} \right) < 4$
$\left. \Rightarrow m \in \left\{ {11;12;\ldots;19} \right\} \right.$$\Rightarrow$ Có 9 giá trị thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A; C; E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
