Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 4dm$, $AD = 2dm$.

Câu hỏi số 856616:

Vận dụng

Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 4dm$, $AD = 2dm$. Bạn chọn một điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng $AM$, chia tờ giấy thành hai phần.

- Phần mảnh giấy chứa cạnh $CD$: Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh $D$, hai cạnh nằm trên đường $DA$ và $DC$, đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt $AM$

- Phần mảnh giấy chứa cạnh $AB$: Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác $ABM$. Gọi $S$ (phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi $M$ di động trên $BC$, giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng bao nhiêu $dm^{2}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856616

Phương pháp giải

Tọa độ hóa với $A(0;0)$, biểu diễn cạnh hình vuông $a$ và bán kính $r$ theo biến $k = BM$. Thiết lập hàm tổng diện tích $S(k) = a^2 + \pi r^2$ và khảo sát để tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;2]$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó $A\left( {0;0} \right),\,\, B\left( {4;0} \right),\,\, D\left( {0;2} \right),\,\, C\left( {4;2} \right),\,\, MB = k$

Do đó $M\left( {4;k} \right)$

Phương trình đường thẳng $AM:\,\, y = mx + n$ đi qua $A\left( {0;0} \right)$ và $M\left( {4;k} \right)$ nên $m = \dfrac{k}{4},\,\, n = 0$

Do đó phương trình đường thẳng $AM:\,\, y = \dfrac{k}{4}x$

$P\left( {a;2 - a} \right)$ nằm trên đường thẳng $AM$ nên $\left. 2 - a = \dfrac{k}{4}.a\Leftrightarrow k = \dfrac{8}{a} - 4 \right.$

Diện tích hình vuông là $S_{1} = a^{2}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AB.BM}{\dfrac{1}{2}\left( {AB + BM + AM} \right)} = \dfrac{4.k}{4 + k + \sqrt{k^{2} + 16}}} \\ {= \dfrac{4.\left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)}{4 + \dfrac{8}{a} - 4 + \sqrt{16 + \left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}} = \dfrac{4\left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)}{\dfrac{8}{a} + \sqrt{16 + \left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}}} \end{array}$

Diện tích hình tròn là $S_{2} = \pi r^{2} = \pi\dfrac{16\left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}{\left( {\dfrac{8}{a} + \sqrt{16 + \left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}} \right)^{2}}$

Ta có: $S = S_{1} + S_{2} = a^{2} + \pi.\dfrac{16\left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}{\left( {\dfrac{8}{a} + \sqrt{16 + \left( {\dfrac{8}{a} - 4} \right)^{2}}} \right)^{2}}$

Vậy $\min S = 3,16$.

Đáp án cần điền là: 3,16

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.