Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với $AB

Câu hỏi số 858924:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O với $AB = 6$, $AD = 8.$ Biết SO vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và SA tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $45^{{^\circ}}$. Gọi M là trung điểm của SA. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM bằng $\dfrac{120}{\sqrt{n}}$, giá trị của n bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858924

Phương pháp giải

Tọa độ hóa. Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tại tâm O của đáy.

Xác định tọa độ các điểm S, C, D, M.

Công thức tính khoảng cách: $d(SC,DM) = \dfrac{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{SD} \right|}{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}\rbrack \right|}$.

Giải chi tiết

Có ABCD là hình chữ nhật nên $\left. AC = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10\Rightarrow AO = 5 \right.$

Vì $SO\bot(ABCD)$ nên $\left( {SA,(ABCD)} \right) = \angle SAO = 45^{o}$

Trong tam giác vuông SAO, $SO = AO.\tan 45^{{^\circ}} = 5$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với $O(0;0;0)$, trục Ox song song với AB, trục Oy song song với BC, trục Oz trùng với OS.

Ta có $A( - 3; - 4;0)$, $B(3; - 4;0)$, $C(3;4;0)$, $D( - 3;4;0)$, $S(0;0;5)$.

M là trung điểm $\left. SA\Rightarrow M\left( {- \dfrac{3}{2}; - 2;\dfrac{5}{2}} \right) \right.$.

$\overset{\rightarrow}{SC} = (3;4; - 5)$, $\overset{\rightarrow}{DM}\left( {\dfrac{3}{2}; - 6;\dfrac{5}{2}} \right)$, chọn ${\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}(3; - 12;5)$.

$\left. \Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}} \right\rbrack = \left( {- 40; - 30; - 48} \right) \right.$.

Chọn $\overset{\rightarrow}{n} = \dfrac{- 1}{2}\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}} \right\rbrack = \left( {20;15;24} \right)$, có $\left| \overset{\rightarrow}{n} \middle| = \sqrt{20^{2} + 15^{2} + 24^{2}} = \sqrt{1201} \right.$.

Có $D( - 3;4;0)$, $\left. S(0;0;5)\Rightarrow \right.$$\overset{\rightarrow}{DS} = (3; - 4;5)$.

Khoảng cách cần tính:

$d(SC,DM) = \dfrac{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}\rbrack \cdot \overset{\rightarrow}{SD} \right|}{\left| \lbrack{\overset{\rightarrow}{u}}_{SC},{\overset{\rightarrow}{u}}_{DM}\rbrack \right|} = \dfrac{\left| 20 \cdot 3 + 15( - 4) + 24 \cdot 5 \right|}{\sqrt{1201}} = \dfrac{120}{\sqrt{1201}}$.

Vậy $n = 1201$.

Đáp án cần điền là: 1201

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.