Phương trình $\text{log}_{2}\dfrac{2x^{2} + 2}{5x + 1} = - 4x^{2} + 10x - 2$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thoả

Câu hỏi số 860095:

Vận dụng

Phương trình $\text{log}_{2}\dfrac{2x^{2} + 2}{5x + 1} = - 4x^{2} + 10x - 2$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thoả mãn $x_{1} + x_{2} = \dfrac{a}{b}$, với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$. Tổng $a + b =$ $\left. \_\_\_ \right.\_$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860095

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm số $\log\left( {2x^{2} + 2} \right) + 2\left( {2x^{2} + 2} \right) = \log_{2}\left( {5x + 1} \right) + 2\left( {5x + 1} \right)$

Với $f(t) = \log_{2}t + 2t$ với $t > 0$ để suy ra $2x^{2} + 2 = 5x + 1$

Giải chi tiết

Điều kiện: $\left. \dfrac{2x^{2} + 2}{5x + 1} > 0\Leftrightarrow x > \dfrac{- 1}{5} \right.$

$\begin{array}{l} {\text{log}_{2}\dfrac{2x^{2} + 2}{5x + 1} = - 4x^{2} + 10x - 2} \\ \left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {2x^{2} + 2} \right) - \log_{2}\left( {5x + 1} \right) = - 4x^{2} + 10x - 2 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log\left( {2x^{2} + 2} \right) - \log_{2}\left( {5x + 1} \right) = - 4x^{2} + 10x - 2 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\log\left( {2x^{2} + 2} \right) + 2\left( {2x^{2} + 2} \right) = \log_{2}\left( {5x + 1} \right) + 2\left( {5x + 1} \right) \right. \end{array}$

Xét $f(t) = \log_{2}t + 2t$ với $t > 0$

$\left. \Rightarrow f'(t) = \dfrac{1}{t.\ln 2} + 2 > 0 \right.$

Vậy $f(t)$ luôn đồng biến nên suy ra

$\begin{array}{l} {f\left( {2x^{2} + 2} \right) = f\left( {5x + 1} \right)} \\ \left. \Leftrightarrow 2x^{2} + 2 = 5x + 1 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2x^{2} - 5x + 1 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \dfrac{5}{2}\Rightarrow a + b = 5 + 2 = 7 \right. \end{array}$

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.