Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(4) = 5$, và ${\int\limits_{0}^{2}{x^{2}f\left( {2x}

Câu hỏi số 860100:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ sao cho $f(4) = 5$, và ${\int\limits_{0}^{2}{x^{2}f\left( {2x} \right)}}dx = 10$. Khi đó, ${\int\limits_{0}^{4}{x^{3}f'(x)}}dx =$ ____

Đáp án:

Đáp án đúng là: 80

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860100

Phương pháp giải

Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp tích phân đổi biến

Giải chi tiết

Đặt $\left. t = 2x\Rightarrow dt = 2dx\Rightarrow{\int\limits_{0}^{2}{x^{2}f\left( {2x} \right)}}dx = {\int\limits_{0}^{4}{\left( \dfrac{t}{2} \right)^{2}f(t)}}\dfrac{dt}{2} \right.$

$\left. \Rightarrow{\int\limits_{0}^{2}{x^{2}f\left( {2x} \right)}}dx = 10\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}{\int\limits_{0}^{4}t^{2}}f(t)dt = 10\Leftrightarrow{\int\limits_{0}^{4}t^{2}}f(t)dt = 80 \right.$

Đặt $\left. \left\{ \begin{array}{l} {u = x^{3}} \\ {dv = f'(x)dx} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {du = 3x^{2}dx} \\ {v = f(x)} \end{array} \right. \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l} {{\int\limits_{0}^{4}{x^{3}f'(x)}}dx = \left. {x^{3}f(x)} \right|_{0}^{4} - {\int\limits_{0}^{4}{3x^{2}f(x)dx}}} \\ {= 64f(4) - 3{\int\limits_{0}^{4}{x^{2}f(x)dx}}} \\ {= 320 - 3.80} \\ {= 80} \end{array}$

Đáp án cần điền là: 80

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.