Có một hòn đảo nằm trong một vịnh biển, giả sử rằng đường bao sát biển của hòn đảo

Câu hỏi số 860764:

Vận dụng

Có một hòn đảo nằm trong một vịnh biển, giả sử rằng đường bao sát biển của hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxyz là một phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số bậc ba $y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 2$ và giả sử một con đường trong đất liền chạy trên một đường thẳng có phương trình là y = -9x + 60 như hình vẽ, với đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 100 m. Tập đoàn đầu tư du lịch S muốn làm một cây cầu vuợt biển có dạng một đoạn thẳng nối từ con đường trong đất liền ra hòn đảo để khai thác du lịch sinh thái. Tính độ dài ngắn nhất (đơn vị: mét) của cây cầu cần làm ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860764

Phương pháp giải

Tìm tiếp điểm và lập phương trình đường tiếp tuyến song song với mặt đường để cây cầu ngắn nhất.

Độ dài cây cầu khi đó bằng khoảng cách từ tiếp tuyến đến mặt đường.

Giải chi tiết

Ta có $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường tại tiếp điểm $M\left( {x_{0};y_{0}} \right)$ $\left( {x_{0} > 0} \right)$.

Khi đó $\left. f'\left( x_{0} \right) = - 9\Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{0} = 3} \\ {x_{0} = - 1\,\,(l)} \end{array} \right.\Rightarrow M\left( {3;2} \right) \right.$.

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $(\Delta):9x + y - 60 = 0$.

$h = \dfrac{\left| {9.3 + 2 - 60} \right|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 3,423$.

Vì đơn vị của hệ trục là 100 m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 342 m.

Đáp án cần điền là: 342

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.