Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có hai đường tiệm cận, tính $cosin$ góc

Câu hỏi số 861063:

Thông hiểu

Biết đồ thị hàm số $y = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có hai đường tiệm cận, tính $cosin$ góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $1$.

D. $- 1$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861063

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiệm cận đứng c của đồ thị hàm số $y = f(x)$ như sau:

Bước 1: Tìm TXĐ của $f(x)$.

Bước 2: Tìm những điểm $x_{0}$ mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải nằm trong tập xác định.

Bước 3: Tính các giới hạn một bên của hàm số tại điểm $x_{0}$:$\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{+}}f(x)\,,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{+}}f(x),\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{-}}f(x)\,\,,\,\,\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}{}^{-}}f(x).$

Bước 4: Kết luận.

Xác định tiệm cận xiên $d:y = ax + b$ của đồ thị hàm số $y = f(x)$ như sau:

$a = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{f(x)}{x},\, b = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack {f(x) - ax} \right\rbrack$ hoặc $a = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{f(x)}{x},\, b = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left\lbrack {f(x) - ax} \right\rbrack$.

Xác định góc giữa hai đường thẳng $c$ và $d$ như sau: $\cos\left( {c,d} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n_{c}}.\overset{\rightarrow}{n_{d}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{n_{c}} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{n_{d}} \right|}$

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $c:x = - 2$, có $\overset{\rightarrow}{n_{c}} = \left( {1;0} \right)$

$\begin{array}{l} {a = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{\dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x\left( {x + 2} \right)} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x^{2} + 2x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{- 1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{2}{x}} = - 1,} \\ {b = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack {\dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2} - \left( {- 1} \right)x} \right\rbrack = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack \dfrac{- x^{2} + 3x + 1 + x^{2} + 2x}{x + 2} \right\rbrack = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5x}{x + 2} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\dfrac{5}{1 + \dfrac{2}{x}} = 5} \end{array}$

nên đồ thị hàm số $y = \dfrac{- x^{2} + 3x + 1}{x + 2}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $\left. d:y = - x + 5\Leftrightarrow x + y - 5 = 0 \right.$, có $\overset{\rightarrow}{n_{d}} = \left( {1;1} \right)$.

Ta có $\cos\left( {c,d} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n_{c}}.\overset{\rightarrow}{n_{d}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{n_{c}} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{n_{d}} \right|} = \dfrac{\left| {1.1 + 0.1} \right|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $cosin$ góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.