Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 3}

Câu hỏi số 861077:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 9$ và điểm $A\left( {0;0;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt khối cầu $(S)$ theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất là

A. $(P):x - 2y + 3z - 6 = 0$.

B. $(P):x + 2y + 3z - 6 = 0$.

C. $(P):3x + 2y + 2z - 4 = 0$.

D. $(P):x + 2y + z - 2 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861077

Phương pháp giải

Để mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt khối cầu $(S)$ theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $(P)$ phải lớn nhất.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S):\left( {x - 1} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {z - 3} \right)^{2} = 9$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Điểm $A\left( {0;0;2} \right)$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$, vì $IA = \sqrt{\left( {0 - 1} \right)^{2} + \left( {0 - 2} \right)^{2} + \left( {2 - 3} \right)^{2}} = \sqrt{6} < R$.

Do đó, để mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt khối cầu $(S)$ theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $(P)$ phải lớn nhất $\left. \Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AI}\bot(P)\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{n_{P}} = \overset{\rightarrow}{AI} \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AI} = \left( {1;2;1} \right)$. Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A\left( {0;0;2} \right)$ thỏa yêu cầu bài toán là:

$\left. 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\Leftrightarrow x + 2y + z - 2 = 0 \right.$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.