Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(-1 ; 2 ; 1), B(2 ;-1 ; 3), C(3 ; 5 ;-1)\).Điểm \(M(a ; b ;

Câu hỏi số 861195:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(-1 ; 2 ; 1), B(2 ;-1 ; 3), C(3 ; 5 ;-1)\).Điểm \(M(a ; b ; c)\) trên mặt phẳng \((O y z)\) sao cho \(|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{C M}|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(a+b+c\) bằng bao nhiêu? (Đáp án viết dưới dạng phân số tối giản).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 11/4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861195

Phương pháp giải

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC .

Biểu diễn lại phép tính vectơ:

\(\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{C M}=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{M B}\)

Tìm tọa độ điểm \(M\).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC .

\(\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M B}=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{M B}\)

Nên \(|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{C M}|=|3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{M B}|=|3 \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M N}+3 \overrightarrow{N G}+\overrightarrow{N B}|\)

Gọi \(N\) là điểm thỏa \(3 \overrightarrow{N G}+\overrightarrow{N B}=\overrightarrow{0}\) nên \(|3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{M B}|=|4 \overrightarrow{M N}|\).

Để \(|\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-\overrightarrow{C M}|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(|4 \overrightarrow{M N}|\) đạt giá trị nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu của \(N\) lên mặt phẳng \((O y z)\).

Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left(\dfrac{4}{3} ; 2 ; 1\right)\).

\(3 \overrightarrow{N G}+\overrightarrow{N B}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 3\left(x_G-x_N\right)+\left(x_B-x_N\right)=0 \\ 3\left(y_G-y_N\right)+\left(y_B-y_N\right)=0 \\ 3\left(z_G-z_N\right)+\left(z_B-z_N\right)=0 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 x _ { G } + x _ { B } ) } \\ { y _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 y _ { G } + y _ { B } ) } \\ { z _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 z _ { G } + z _ { B } ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { x _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 \cdot \dfrac { 4 } { 3 } + 2 ) } \\{ y _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 \cdot 2 - 1 ) } \\ { z _ { N } = \dfrac { 1 } { 4 } ( 3 \cdot 1 + 3 ) } \end{array} \right.\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_N=\dfrac{3}{2} \\ y_N=\dfrac{5}{4} \\ z_N=\dfrac{3}{2} \end{array} \right.\)

Nên \(N\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{2}\right)\)

Vậy tọa độ điểm \(M\left(0 ; \dfrac{5}{4} ; \dfrac{3}{2}\right)\). Suy ra \(a+b+c=\dfrac{11}{4}\).

Đáp án cần điền là: 11/4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.