Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \((x+2) f(x)+(x+1) f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x\)

Câu hỏi số 861199:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \((x+2) f(x)+(x+1) f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x\) và \(f(0)=\dfrac{1}{2}\). Tính \(f(2)\).

A. \(f(2)=\dfrac{\mathrm{e}}{3}\).

B. \(f(2)=\dfrac{\mathrm{e}}{6}\).

C. \(f(2)=\dfrac{\mathrm{e}^2}{3}\).

D. \(f(2)=\dfrac{\mathrm{e}^2}{6}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861199

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm của tích: \((u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}\)

Giải chi tiết

Ta có

\((x+2) f(x)+(x+1) f^{\prime}(x)=e^x\)

\(\Leftrightarrow(x+1) f(x)+f(x)+(x+1) f^{\prime}(x)=e^x \)

\(\Leftrightarrow[(x+1) f(x)]+[(x+1) f(x)]^{\prime}=e^x\)

\(\Leftrightarrow e^x[(x+1) f(x)]+e^x[(x+1) f(x)]^{\prime}=e^{2 x} \)

\(\Leftrightarrow\left[e^x(x+1) f(x)\right]^{\prime}=e^{2 x} \Rightarrow \int\left[e^x(x+1) f(x)\right]^{\prime} dx=\int e^{2 x} dx\)

\(\Leftrightarrow e^x(x+1) f(x)=\dfrac{1}{2} e^{2 x}+C\)

Mà \(f(0)=\dfrac{1}{2} \Rightarrow C=0\).

Vậy \(f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\mathrm{e}^x}{x+1}\)

Khi đó \(f(2)=\dfrac{\mathrm{e}^2}{6}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.