Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=2 \cos ^3 x-\cos 2 x\) trên đoạn \(\left[-\dfrac{\pi}{3} ;

Câu hỏi số 861201:

Vận dụng

Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=2 \cos ^3 x-\cos 2 x\) trên đoạn \(\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]\) là \(\dfrac{a}{b}\) với \(a, b \in \mathbb{N}\) và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó tích \(P=a \cdot b\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 513

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861201

Phương pháp giải

Đặt \(t=\cos x\)

Lấy đạo hàm tìm điểm cực trị trong khoảng.

So sánh giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị để chọn giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đặt \(t=\cos x\).

Trên \(\left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]\) ta có \(t \in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]\).

Ta có:

\(f(x)=2 \cos ^3 x-\cos 2 x=2 \cos ^3 x-\left(2 \cos ^2 x-1\right)\)

\(=2 t^3-\left(2 t^2-1\right)=2 t^3-2 t^2+1=g(t)\)

Xét \(g(t)\) trên \(\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]\) :

\(g^{\prime}(t)=6 t^2-4 t=2 t(3 t-2)\)

Suy ra \(g^{\prime}(t)=0\) khi \(t=0\) hoặc \(t=\dfrac{2}{3}\).

Vì \(t \in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]\) nên \(t=\dfrac{2}{3}\).

\(g\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1=\dfrac{3}{4} \)

\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=2\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-2\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+1=\dfrac{19}{27} \)

\(g(1)=1\)

Do đó giá trị nhỏ nhất là \(\min g=\dfrac{19}{27}\), đạt tại \(t=\dfrac{2}{3}\) (tức là \(\cos x=\dfrac{2}{3}\) ).

Suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{19}{27}\) tối giản, nên \(a=19, b=27\).

Khi đó: \(P=a \cdot b=19 \cdot 27=513\).

Đáp án cần điền là: 513

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.