Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R = 5$. Khối tứ diện $ABCD$ có tất cả

Câu hỏi số 861324:

Thông hiểu

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R = 5$. Khối tứ diện $ABCD$ có tất cả các đỉnh thay đổi và cùng thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho tam giác $ABC$vuông cân tại $B$ và$DA = DB = DC$. Biết thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$ là $\dfrac{a}{b}$ ($a$,$b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản), tính$a + b$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4081

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861324

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AC. Khi đó $DH\bot(ABC)$ và tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc tia $DH$.

Đặt $DH = x$ và $AH = a$ ($0 < a \leq 5,\, 0 < x < 10$).

Tính thể tích khối chóp $ABCD$ theo x và khảo sát tìm GTLN

Giải chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $DA = DB = DC$

Suy ra $DH\bot(ABC)$ và tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc tia $DH$.

Đặt $DH = x$ và $AH = a$ ($0 < a \leq 5,\, 0 < x < 10$).

Có $ID = IA = 5$ và $IH = \left| {x - 5} \right|$.

Xét tam giác vuông $AIH$ có $a^{2} = AH^{2} = AI^{2} - IH^{2} = 25 - {(x - 5)}^{2} = 10x - x^{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \dfrac{1}{2}AC.BH = a^{2} = 10x - x^{2}$.

Thể tích khối chóp $ABCD$ là: $V = \dfrac{1}{3}S_{ABC}^{}.DH = \dfrac{1}{3}(10x - x^{2})x$.

Xét $f(x) = \dfrac{1}{3}(10x - x^{2})x = \dfrac{1}{3}(10x^{2} - x^{3})$ với $0 < x < 10$.

Lập bảng biến thiên cho hàm số $f(x)$ ta được giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên nửa khoảng $\left( {0\,;\, 10} \right)$ ta có kết quả là $\dfrac{4000}{81}$ tại $x = \dfrac{20}{3}$.

Vậy $a = 4000,\, b = 81$ nên $a + b = 4081$.

Đáp án cần điền là: 4081

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.