Cho $\bigtriangleup ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các đường cao AD, BF, CE của

Câu hỏi số 864602:

Vận dụng

Cho $\bigtriangleup ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các đường cao AD, BF, CE của $\bigtriangleup ABC$ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp một đường tròn.

b) Kéo dài $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Kéo dài $KE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $I$. Gọi $N$ là giao điểm của $CI$ và $EF$. Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup AEF$. Chứng minh: $CE^{2} = CI.CN$ và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:864602

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai đỉnh liên tiếp E, D cùng nhìn cạnh BH dưới góc $90^{{^\circ}}$ để suy ra tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra hệ thức;

Chứng minh ba điểm M, N, P cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF để kết luận thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác BEHD có:

$\widehat{BEH} = 90^{{^\circ}}(HE\bot AB)$ suy ra E thuộc đường tròn đường kính BH

$\widehat{BDH} = 90^{{^\circ}}(HD\bot BC)$ suy ra D thuộc đường tròn đường kính BH

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm E, D, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính BH

Vậy tứ giác BEHD nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh được tứ giác AEHF nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$ có

$\widehat{FEH} = \widehat{FAH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH) hay $\widehat{CEN} = \widehat{KAC}$

Xét $(O)$ có $\widehat{KAC} = \widehat{KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC) hay $\widehat{KAC} = \widehat{EIC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CEN} = \widehat{EIC}$

Xét $\bigtriangleup CEN$ và $\bigtriangleup CIE$ có:

$\widehat{ECI}$ chung;

$\widehat{CEN} = \widehat{EIC}$ (cmt)

Nên $\left. \bigtriangleup CEN \right.\sim \bigtriangleup CIE(g - g)$

Suy ra $\left. \dfrac{CE}{CI} = \dfrac{CN}{CE}\Rightarrow CE^{2} = CN.CI \right.$

Xét tam giác $OBC$ cân tại $O$

Vì $OM\bot BC$ tại $M$ nên $OM$ là đường cao của tam giác cân nên $OM$ cũng là đường trung tuyến do đó $M$ là trung điểm $BC$.

Xét $\bigtriangleup EBC$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm $B C$ nên $ME = \dfrac{1}{2}BC$.

Tương tự ta có $MF = \dfrac{1}{2}BC$. Do đó $ME = MF\left( {= \dfrac{1}{2}BC} \right)$

Suy ra $M$ thuộc trung trực của $E F$

Vì $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup AEF$ nên $PE = PF$

Suy ra $P$ thuộc trung trực của $EF$. Vì vậy $PM$ là trung trực của $EF$

Để chứng minh $M, N, P$ thẳng hàng ta đi chứng minh $N \in PM$.

Kẻ $EG\bot AC,G \in AC$.

Áp dụng hệ thức lượng vào $\bigtriangleup AEC$ vuông tại $E$, đường cao $EG$, ta có

$CE^{2} = CG.CA$

Theo phần b có $CE^{2} = CN.CI$ nên $CG.CA = CN.CI$

$\left. \Rightarrow\dfrac{CG}{CN} = \dfrac{CI}{CA} \right.$.

Xét $\bigtriangleup CNG$ và $\bigtriangleup CAI$ có $\dfrac{CG}{CN} = \dfrac{CI}{CA}$ (cmt) và $\widehat{ICA}$ chung

Nên $\bigtriangleup CNG \backsim \bigtriangleup CAI$ (c.g.c)

$\left. \Rightarrow\widehat{NGC} = \widehat{CIA} \right.$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{NGF} = \widehat{CIA}$

Xét $(O)$ có $\widehat{CIA} = \widehat{CBA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CA) (**)

Chứng minh được tứ giác BEFC nội tiếp một đường tròn

$\left. \Rightarrow\widehat{EBC} + \widehat{EFC} = 180^{{^\circ}} \right.$ (hai góc đối nhau)

Mà $\widehat{AFE} + \widehat{EFC} = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù)

$\left. \Rightarrow\widehat{EBC} = \widehat{AFE} \right.$ hay $\widehat{ABC} = \widehat{NFG}$ (***)

Từ (*), (**), (***) ta suy ra $\widehat{NGF} = \widehat{NFG}$

Do đó $\bigtriangleup NGF$ cân tại $N$ suy ra $NG = NF$

Xét $\bigtriangleup EGF$ vuông tại G có $\widehat{NGF} = \widehat{NFG}$ nên $\widehat{NGE} = \widehat{NEG}$.

Do đó $\bigtriangleup NGE$ cân tại N suy ra $NG = NE$

Khi đó $NE = NF$ hay N là trung điểm EF

Từ (3) và (4) suy ra $N \in PM$ hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link