Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1, góc $\widehat{BAD} = 60^{{^\circ}}$. Gọi O là giao

Câu hỏi số 864829:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1, góc $\widehat{BAD} = 60^{{^\circ}}$. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với điểm O. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng $60^{{^\circ}}$. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{13}}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:864829

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$ từ đó tính được khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Giải chi tiết

Kẻ $OM$ vuông góc với $CD$ tại $M$.

Vì $ABCD$ là hình thoi có, tính được $OD = \dfrac{1}{2};CO = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó: $\left. \dfrac{1}{OM^{2}} = \dfrac{1}{OD^{2}} + \dfrac{1}{OC^{2}} = \dfrac{16}{3}\Rightarrow OM = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \right.$.

Xét tam giác $SOM$ vuông tại $O$, kẻ $OH$ vuông góc với $SM$ tại H, suy ra:

$\left. \dfrac{1}{OH^{2}} = \dfrac{1}{OM^{2}} + \dfrac{1}{OS^{2}} = \dfrac{52}{9}\Rightarrow OH = \dfrac{3\sqrt{13}}{26}. \right.$

Vì $\left. \left. \begin{matrix} {CD\bot OM} \\ {CD\bot SO} \end{matrix} \right\}\Rightarrow CD\bot\left( {SOM} \right)\Rightarrow CD\bot OH \right.$.

Vì $\left. \left. \begin{matrix} {OH\bot SM} \\ {OH\bot CD} \end{matrix} \right\}\Rightarrow OH\bot\left( {SCD} \right)\Rightarrow d_{({O,(SCD)})} = OH = \dfrac{3\sqrt{13}}{26}. \right.$

Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên

$\left. d_{({A,{({SCD})}})} = 2d_{({O,{({SCD})}})} = 2.\dfrac{3\sqrt{13}}{26} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13} = \dfrac{a\sqrt{13}}{b}\Rightarrow a = 3,b = 13. \right.$

Vậy $a + b = 3 + 13 = 16.$

Đáp án cần điền là: 16

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.