Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} - 4x + 5}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi A là điểm cực

Câu hỏi số 864828:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} - 4x + 5}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi A là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị $(C)$. Khoảng cách từ điểm A đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(C)$ bằng $\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ với $a,b \in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $a$ là số nguyên tố. Tính $2026a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:864828

Phương pháp giải

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {x_{0},y_{0}} \right)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$:

$d_{({M,d})} = \dfrac{\left| {ax_{0} + by_{0} + c} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Giải chi tiết

Ta có: $\left. y = \dfrac{x^{2} - 4x + 5}{x - 2} = x - 2 + \dfrac{1}{x - 2}\Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{\left( {x - 2} \right)^{2}} \right.$

Xét $\left. y' = 0\Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix} \left. x = 1\Rightarrow y(1) = - 2 \right. \\ \left. x = 3\Rightarrow y(3) = 2 \right. \end{matrix} \right. \right.$

Vì A là điểm cực trị có tung độ âm của đồ thị $(C)$$\left. \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right). \right.$

Có $\left. \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\left\lbrack {y - \left( {x - 2} \right)} \right\rbrack = 0\Rightarrow y = x - 2 \right.$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(C)$.

Ta có $y = x - 2$ tương đương $x - y - 2 = 0$.

Khi đó khoảng cách từ điểm $A$ đến tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(C)$ là:

$\left. d = \dfrac{\left| {1 - \left( {- 2} \right) - 2} \right|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{a}}{b}\Rightarrow a = 2;b = 2. \right.$

Vậy $2026a + b = 4054.$

Đáp án cần điền là: 4054

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.