Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên ${\mathbb{R}},f(0) = 0,f'(0) \neq 0$ và thỏa mãn hệ thức

Câu hỏi số 941729:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên ${\mathbb{R}},f(0) = 0,f'(0) \neq 0$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( {3x^{2} + x} \right)f'(x) + \left( {6x + 1} \right)f(x),\forall x \in {\mathbb{R}}$. Biết $\int_{0}^{1}\left( {x + 1} \right)\text{e}^{f{(x)}}\text{d}x = a\text{e}^{2} + b$, với $a,b \in {\mathbb{Q}}$. Giá trị của $a - b$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941729

Phương pháp giải

Chuyển vế cô lập đạo hàm và sử dụng phương pháp nhân hệ số tích phân (phương pháp $e^{{\int p}(x)dx}$) để giải ra hàm $f(x)$, sau đó thế vào biểu thức tích phân cần tính.

Giải chi tiết

Ta có $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( {3x^{2} + x} \right)f'(x) + \left( {6x + 1} \right)f(x)$

$\left. \Rightarrow\left\lbrack {\dfrac{1}{2}f^{2}(x) + 6x^{3}} \right\rbrack^{'} = \left\lbrack {\left( {3x^{2} + x} \right)f(x)} \right\rbrack^{'} \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{2}f^{2}(x) + 6x^{3} = \left( {3x^{2} + x} \right)f(x) + C \right.$, với $C$ là hằng số.

Mặt khác, theo giả thiết $f(0) = 0$ nên $C = 0$.

Khi đó $\dfrac{1}{2}f^{2}(x) + 6x^{3} = \left( {3x^{2} + x} \right)f(x),\forall x \in {\mathbb{R}}$. Ta có

$\begin{array}{ll} & {\dfrac{1}{2}f^{2}(x) + 6x^{3} = \left( {3x^{2} + x} \right)f(x)} \\ \Leftrightarrow & {f^{2}(x) + 12x^{3} = \left( {6x^{2} + 2x} \right)f(x)} \\ \Leftrightarrow & {\left\lbrack {f(x) - 2x} \right\rbrack\left\lbrack {f(x) - 6x^{2}} \right\rbrack = 0} \\ \Leftrightarrow & \left\lbrack \begin{array}{l} {f(x) = 2x} \\ {f(x) = 6x^{2}.} \end{array} \right. \end{array}$

Với $f(x) = 6x^{2},\forall x \in {\mathbb{R}}$, ta có $f'(0) = 0$ (loại).

Với $f(x) = 2x,\forall x \in {\mathbb{R}}$, ta có

$\begin{array}{l} {{\int_{0}^{1}{(x + 1)}}\text{e}^{f(x)}\text{d}x = {\int_{0}^{1}{(x + 1)}}\text{e}^{2x}~\text{d}x} \\ {= \left. \left\lbrack \dfrac{(x + 1)\text{e}^{2x}}{2} \right\rbrack \right|_{0}^{1} - \dfrac{1}{2}{\int_{0}^{1}\text{e}^{2x}}~\text{d}x = \dfrac{3}{4}\text{e}^{2} - \dfrac{1}{4}} \\ \left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{3}{4}} \\ {b = - \dfrac{1}{4}} \end{array}\Rightarrow a - b = 1 \right. \right. \end{array}$

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.