Cho biểu thức $P(x) = \left( {1 + 2x} \right)^{n}$ và biểu thức số học $S = \left( {1 + \sqrt{2}} \right)^{n} + \left( {1 - \sqrt{2}} \right)^{n}$ với $n$ là số nguyên dương.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Thông hiểu

Biết rằng tổng các hệ số trong khai triển của $P(x)$ bằng 243. Giá trị của n là:

A. $n = 4$.

B. $n = 5$.

C. $n = 6$.

D. $n = 7$.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:942175

Phương pháp giải

Thay $x = 1$ vào $P(x)$ để tính tổng hệ số, giải phương trình mũ $3^{n} = 243$.

Giải chi tiết

Tổng các hệ số trong khai triển của một đa thức $P(x)$ chính là giá trị của đa thức đó khi $x = 1$.

Ta có: $P(1) = {(1 + 2 \cdot 1)}^{n} = 3^{n}$.

Theo đề bài: $3^{n} = 243$. Mà $243 = 3^{5}$.

Suy ra $n = 5$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:

Thông hiểu

Với giá trị n vừa tìm được ở câu trên, hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển của $P(x)$ là:

A. 10.

B. 40.

C. 80.

D. 160.

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:942176

Phương pháp giải

Sử dụng số hạng tổng quát $T_{k + 1} = C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$, chọn k tương ứng với số mũ của x.

Giải chi tiết

Với $n = 5$, khai triển $P(x) = {(1 + 2x)}^{5}$ có số hạng tổng quát là:

$T_{k + 1} = C_{5}^{k} \cdot 1^{5 - k} \cdot {(2x)}^{k} = C_{5}^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{k}$.

Để có số hạng chứa $x^{3}$, ta chọn $k = 3$.

Hệ số tương ứng là: $C_{5}^{3} \cdot 2^{3} = 10 \cdot 8 = 80$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 3:

Thông hiểu

Với giá trị n vừa tìm được ở câu trên, giá trị của biểu thức số học S là:

A. $S = 82$.

B. $S = 41$.

C. $S = 82\sqrt{2}$.

D. $S = 0$.

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:942177

Phương pháp giải

Khai triển hai nhị thức và cộng lại để triệt tiêu các số hạng chứa $\sqrt{2}$ mũ lẻ (các số hạng ở vị trí k lẻ).

Giải chi tiết

Với $n = 5$, ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{5} = C_{5}^{0} + C_{5}^{1}\sqrt{2} + C_{5}^{2}{(\sqrt{2})}^{2} + C_{5}^{3}{(\sqrt{2})}^{3} + C_{5}^{4}{(\sqrt{2})}^{4} + C_{5}^{5}{(\sqrt{2})}^{5}$.

${(1 - \sqrt{2})}^{5} = C_{5}^{0} - C_{5}^{1}\sqrt{2} + C_{5}^{2}{(\sqrt{2})}^{2} - C_{5}^{3}{(\sqrt{2})}^{3} + C_{5}^{4}{(\sqrt{2})}^{4} - C_{5}^{5}{(\sqrt{2})}^{5}$.

Khi cộng hai biểu thức, các hạng tử chứa $\sqrt{2}$ với số mũ lẻ (ứng với $k = 1,3,5$) bị triệt tiêu:

$S = 2\left\lbrack {C_{5}^{0} + C_{5}^{2}{(\sqrt{2})}^{2} + C_{5}^{4}{(\sqrt{2})}^{4}} \right\rbrack$

$= 2\left\lbrack {1 + 10 \cdot 2 + 5 \cdot 4} \right\rbrack = 2\left\lbrack {1 + 20 + 20} \right\rbrack = 2 \cdot 41 = 82$.

Đáp án cần chọn là: A

2K9 VIDEO - LỘ TRÌNH SUN - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD 2027

2K9 LIVE - LỘ TRÌNH 5V - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD, TN THPT 2027

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho biểu thức $P(x) = \left( {1 + 2x} \right)^{n}$ và biểu thức số học $S = \left( {1 + \sqrt{2}}

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn