Một đập thủy điện có chiều cao dưới 50 m và nếu mực nước trong hồ thủy điện

Câu hỏi số 942657:

Vận dụng

Một đập thủy điện có chiều cao dưới 50 m và nếu mực nước trong hồ thủy điện là $h$ thì áp lực nước trong hồ thủy điện tác động lên toàn bộ thân đập được tính bằng công thức

$P=D \int_0^h g x(46-x) d x$

trong đó: $D = 1000\text{kg}/\text{m}^{3}$ là khối lượng riêng của nước, $g \approx 10\text{m}/\text{s}^{2}$ là gia tốc trọng trường, số 46 liên quan đến thiết kế của chiều dài và đáy con đập. Khi áp lực nước lên thành đập là $21498750N$ thì mực nước trong hồ thủy điện $h = \dfrac{a}{b}$ với $a \in {\mathbb{Z}},b \in {\mathbb{N}}^{\text{*}},\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a + b$ là

A. 23.

B. 24.

C. 21.

D. 20.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942657

Phương pháp giải

Tính tích phân theo biến h từ công thức $P = D{\int_{0}^{h}g}x(46 - x)dx$.

Thay các giá trị D, g và P đã cho vào biểu thức vừa tìm được để thiết lập phương trình ẩn h.

Giải phương trình tìm h, từ đó suy ra phân số $\dfrac{a}{b}$ và tính tổng $a + b$.

Giải chi tiết

Ta có công thức tính áp lực nước:

$P = D{\int_{0}^{h}g}x(46 - x)dx$

Thay $D = 1000$ và $g = 10$ vào biểu thức, ta tính phần tích phân:

$P = 1000 \cdot 10{\int_{0}^{h}{(46x - x^{2})}}dx = 10000\left\lbrack {23x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}} \right\rbrack_{0}^{h}$

$P = 10000\left( {23h^{2} - \dfrac{h^{3}}{3}} \right)$

Theo giả thiết, áp lực nước $P = 21498750$, ta có phương trình:

$10000\left( {23h^{2} - \dfrac{h^{3}}{3}} \right) = 21498750$

$23h^{2} - \dfrac{h^{3}}{3} = 2149.875$

$\dfrac{h^{3}}{3} - 23h^{2} + 2149.875 = 0$

$h^{3} - 69h^{2} + 6449.625 = 0$

$h = \dfrac{21}{2}$

Theo đề bài $h = \dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a \in {\mathbb{Z}},b \in {\mathbb{N}}^{*}$), ta suy ra: $a = 21$ và $b = 2$.

Giá trị của $a + b = 21 + 2 = 23$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.