Tọa độ trọng tâm của một bản phẳng mỏng đồng chất nằm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$

Câu hỏi số 942658:

Vận dụng

Tọa độ trọng tâm của một bản phẳng mỏng đồng chất nằm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ được giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm liên tục $y = f(x)$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x = a,x = b$ cho bởi công thức

$\overline{x} = \dfrac{1}{A}\int_{a}^{b}xf(x)dx$ và $~\overline{y} = \dfrac{1}{2A}\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$

trong đó $A$ là diện tích của bản phẳng. Tung độ $\overline{y}$ của trọng tâm bản phẳng đồng chất khi $y = \text{cos}x,a = 0,b = \dfrac{\pi}{2}$ là

A. $\dfrac{\pi}{5}$.

B. $\dfrac{\pi}{8}$.

C. $\dfrac{\pi}{6}$.

D. $\dfrac{\pi}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942658

Phương pháp giải

Tính diện tích A của bản phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$, $x = b$.

Áp dụng công thức tính tung độ trọng tâm: $\overline{y} = \dfrac{1}{2A}{\int_{a}^{b}f^{2}}(x)dx$.

Giải chi tiết

Hàm số đã cho là $f(x) = \cos x$ với cận từ $a = 0$ đến $b = \dfrac{\pi}{2}$.

Trước tiên, ta tính diện tích $A$:

$A = {\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos}xdx = \left\lbrack {\sin x} \right\rbrack_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} \right) - \sin(0) = 1$

Tiếp theo, tính tung độ trọng tâm $\overline{y}$:

$\overline{y} = \dfrac{1}{2A}{\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^{2}}xdx = \dfrac{1}{2 \cdot 1}{\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}}dx$

$\overline{y} = \dfrac{1}{4}{\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}{(1 + \cos(}}2x))dx = \dfrac{1}{4}\left\lbrack {x + \dfrac{1}{2}\sin(2x)} \right\rbrack_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}$

$\overline{y} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2}\sin(\pi) - 0} \right) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{8}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.