(3,0 điểm)Cho đường tròn $\left( {O,R} \right)$ có đường kính $AB$. Kẻ đường kính $CD$ vuông góc
(3,0 điểm)
Cho đường tròn $\left( {O,R} \right)$ có đường kính $AB$. Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$. Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $CD$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$
a) Chứng minh bốn điểm $M,\,\, N,\,\, D,\,\, E$ cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh $EN \parallel CB$
c) Chứng minh $AM.BN = 2R^{2}$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung $BC$ để tam giác $BNC$ có diện tích lớn nhất.
Quảng cáo
a) Từ các tam giác vuông suy ra các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính là cạnh huyền
b) Chứng minh hai góc đồng vị $\angle ENM = \angle CBM$
c) Kẻ $BP\bot DN\,\,\left( {P \in DN} \right)$, chứng minh $\Delta AMB \backsim \Delta BPN\,\,\left( {g.g} \right)$ suy ra $AM.BN = 2R^{2}$ và $S_{BCN} = S_{BCE}$ lập luận tìm vị trí của E và M.
a)
Vì tam giác $AMB$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ nên $\angle AMB = 90{^\circ}$ hay $\angle EMN = 90{^\circ}$
Khi đó $E,M,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EN$ (1)
Vì $\angle EDN = 90{^\circ}$(tính chất tiếp tuyến) nên $E,D,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EN$ (2)
Từ (1) và (2) ta được $M,N,D,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $EN$
b)
Vì tứ giác $EMND$ nội tiếp nên $\angle ENM = \angle EDM$
Mà $\angle EDM = \angle CAM = \angle CBM$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CM) nên $\angle ENM = \angle CBM$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $EN \parallel CB$
C)
Kẻ $BP\bot DN\,\,\left( {P \in DN} \right)$
Khi đó $\angle O = \angle D = \angle P = 90^{0}$ nên $OBPD$ là hình chữ nhật suy ra $BP = OD$
Vì $AB \parallel DN$ (cùng vuông góc với $CD$) nên $\angle ABM = \angle BNP$ (2 góc đồng vị)
Mà $\angle AMB = \angle BPN = 90{^\circ}$ nên $\Delta AMB \backsim \Delta BPN\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{AM}{BP} = \dfrac{AB}{BN}$ hay $AM.BN = AB.BP = AB.OD = 2R.R = 2R^{2}$
Ta có: $BC \parallel EN$ nên $S_{BCN} = S_{BCE}$ (hai tam giác có chung cạnh đáy BC và khoảng cách từ E và N đến BC bằng nhau)
Mà $S_{BCN} = S_{BCE} = \dfrac{1}{2}BO.CE \leq \dfrac{1}{2}BO.CO = \dfrac{1}{2}R^{2}$
Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $E \equiv O$ hay $M \equiv B$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
