Cho ${\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}{(3\tan x + 2\cot x)}^{2}}dx = a + b\dfrac{\sqrt{3}}{3} + c\dfrac{\pi}{12}$

Câu hỏi số 945001:

Thông hiểu

Cho ${\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}{(3\tan x + 2\cot x)}^{2}}dx = a + b\dfrac{\sqrt{3}}{3} + c\dfrac{\pi}{12}$ (*). Biết rằng tồn tại duy nhất bộ ba số nguyên a, b, c thỏa mãn (*). Tổng $T = a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 19.

B. 17.

C. 15.

D. 21.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945001

Phương pháp giải

Khai triển hằng đẳng thức, biến đổi về các nguyên hàm cơ bản của $\tan^{2}x$ và $\cot^{2}x$.

Giải chi tiết

Ta có $f(x) = {(3\tan x + 2\cot x)}^{2} = 9\tan^{2}x + 12\tan x\cot x + 4\cot^{2}x$

$= 9\left( {\dfrac{1}{\cos^{2}x} - 1} \right) + 12 + 4\left( {\dfrac{1}{\sin^{2}x} - 1} \right) = \dfrac{9}{\cos^{2}x} + \dfrac{4}{\sin^{2}x} - 1$

Có ${\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}f}(x)dx = {\int_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{\pi}{3}}\left( {\dfrac{9}{\cos^{2}x} + \dfrac{4}{\sin^{2}x} - 1} \right)}$

$= \lbrack 9\tan x - 4\cot x - x\rbrack|_{\pi/4}^{\pi/3} =$$- 5 + 23\dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\pi}{12}$

Suy ra $a = - 5,b = 23,c = - 1$.

Vậy $T = - 5 + 23 - 1 = 17$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.