Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(5;0;2)$, $B(5;10;4)$. Các điểm M, N di động

Câu hỏi số 945015:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(5;0;2)$, $B(5;10;4)$. Các điểm M, N di động trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài MN bằng 2. Tổng $AM + BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945015

Phương pháp giải

Sử dụng phép đối xứng qua mặt phẳng (Oxy) để đưa hai điểm A, B về hai phía khác nhau của mặt phẳng.

Sử dụng phép tịnh tiến theo một vectơ có độ dài bằng MN để đưa bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

Giá trị nhỏ nhất được tính theo công thức: $L_{min} = \sqrt{{(HK - MN)}^{2} + {(z_{A} + z_{B})}^{2}}$ với H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng $(Oxy)$.

Giải chi tiết

Gọi $H(5;0;0)$ và $K(5;10;0)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt phẳng (Oxy).

Lấy điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy), khi đó $AM = A'M$.

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{NM}$ (với $\left| \overset{\rightarrow}{v} \middle| = 2 \right.$), điểm B biến thành B’.

Khi đó $BN = B'M$.

Tổng $AM + BN = A'M + MB' \geq A'B'$.

Để A'B’ nhỏ nhất, vectơ tịnh tiến phải hướng về phía điểm A'.

Khi đó khoảng cách ngang giữa A' và B’ giảm đi một lượng bằng độ dài MN, tức là $10 - 2 = 8$.

Chênh lệch cao độ giữa A' và B’ là $\left| z_{B'} - z_{A'} \middle| = \middle| 4 - ( - 2) \middle| = 6 \right.$.

Giá trị nhỏ nhất của tổng là $A'B' = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$.

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.