Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT và ĐGNL Hà Nội Ngày 11-12/04/2026
 ↪ TN THPT - Trạm 5 (Free) ↪ ĐGNL Hà Nội (HSA) - Trạm 5
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết $A(1;2;1)$, $B(2;0; -

Câu hỏi số 945986:
Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết $A(1;2;1)$, $B(2;0; - 1)$, $C(6;1;0)$ và diện tích hình thang ABCD bằng $6\sqrt{2}$.

Đúng Sai
a) $\cos(\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
b) Tọa độ điểm D là $(a;b;c)$. Khi đó $a + b + c = \dfrac{22}{3}$.
c) Gọi điểm $M(x_{M};y_{M};z_{M})$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa mãn $MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $x_{M} < 4$.
d) $\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AC} = 9$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:945986
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: $\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AC}}{AB \cdot AC}$

Hình thang ABCD vuông tại A và B thì $\overset{\rightarrow}{AD}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{BC}$.

Bài toán tìm điểm M để biểu thức $f(M) = {\sum k_{i}}MA_{i}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất: Gọi G là điểm thỏa mãn ${\sum k_{i}}\overset{\rightarrow}{GA_{i}} = \overset{\rightarrow}{0}$. Khi đó $f(M)$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng $(Oxy)$.

Giải chi tiết

a) Đúng. Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = (1; - 2; - 2)\Rightarrow AB = 3 \right.$;

$\left. \overset{\rightarrow}{AC} = (5; - 1; - 1)\Rightarrow AC = 3\sqrt{3} \right.$

$\left. \Rightarrow\cos\left( {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AC}}{AB \cdot AC} = \dfrac{9}{3 \cdot 3\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right.$.

b) Sai. Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{BC} = (4;1;1)\Rightarrow BC = 3\sqrt{2} \right.$

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên

$\left. AD \parallel BC\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AD} = k\overset{\rightarrow}{BC} = (4k;k;k) \right.$.

Diện tích hình thang:

$\begin{array}{l} {S = \dfrac{1}{2}AB(BC + AD) = 6\sqrt{2}} \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3\sqrt{2} + AD) = 6\sqrt{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 3\sqrt{2} + AD = 4\sqrt{2}\Rightarrow AD = \sqrt{2} \right. \end{array}$

Vì $AD = \sqrt{2}$ và $BC = 3\sqrt{2}$ nên $k = \dfrac{1}{3}$

$\left. \overset{\rightarrow}{AD} = \left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\Rightarrow D = \left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3}} \right) \right.$ .Tổng $a + b + c = \dfrac{18}{3} = 6$.

c) Đúng. Gọi G là điểm thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{GA} + 2\overset{\rightarrow}{GB} + 3\overset{\rightarrow}{GC} = \overset{\rightarrow}{0}$, có

$G = \dfrac{A + 2B + 3C}{6} = \dfrac{(1,2,1) + 2(2,0, - 1) + 3(6,1,0)}{6} = \left( {\dfrac{23}{6};\dfrac{5}{6}; - \dfrac{1}{6}} \right)$

Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên $(Oxy)$

Suy ra $M\left( {\dfrac{23}{6};\dfrac{5}{6};0} \right)$. Khi đó $x_{M} = \dfrac{23}{6} \approx 3,83 < 4$.

d) Đúng. Theo câu a, $\overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{AC} = 9$.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn