Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 3; 2)$ và $B(4; 5; 6)$. Gọi $\alpha$ là góc

Câu hỏi số 948400:

Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 3; 2)$ và $B(4; 5; 6)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

A. $\frac{4\sqrt{29}}{29}$.

B. $\dfrac{16}{29}$.

C. $\dfrac{\sqrt{377}}{29}$.

D. $\dfrac{13}{29}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948400

Phương pháp giải

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overset{\rightarrow}{u} = \overset{\rightarrow}{AB}$.

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$.

Góc $\alpha$ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bởi công thức $\sin\alpha = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{k} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \middle| \middle| \overset{\rightarrow}{k} \right|}$.

Tính $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}$ (vì $0^{{^\circ}} \leq \alpha \leq 90^{{^\circ}}$).

Giải chi tiết

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (3;2;4)$.

Mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxy)$. Ta có:

$\sin\alpha = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{k}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{k} \right|} = \dfrac{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}$.

Vì $\alpha$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên $0^{{^\circ}} \leq \alpha \leq 90^{{^\circ}}$, suy ra $\cos\alpha \geq 0$.

Do đó, $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{4}{\sqrt{29}} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{377}}{29}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.