Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGTD & thi cuối học kì II lớp 10, 11, 12
↪ ĐGTD Bách khoa (TSA) - Trạm số 8 ↪ Thi cuối học kì II lớp 10, 11, 12
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $f(x) = \cos^{2}\dfrac{x}{2}$.

Câu hỏi số 949926:
Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \cos^{2}\dfrac{x}{2}$.

Đúng Sai
a) ${\int f}(x)dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\sin x + C$.
b) Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ và thỏa mãn $F(0) = 3$ thì $F\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{11}{4}$.
c) ${\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f}(x)dx = a + b\pi$ ($a,b \in {\mathbb{Q}}$), trong đó $a^{2} + b = \dfrac{1}{2}$.
d) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = x^{2} - 4 + \cos^{2}\dfrac{x}{2}$ và hai đường thẳng $x = 0,$$x = 3$ bằng $\dfrac{23}{3}$.

Đáp án đúng là: S; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:949926
Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác: $\cos^{2}u = \dfrac{1 + \cos 2u}{2}$.

Sử dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, tích phân và công thức tính diện tích hình phẳng.

Giải phương trình hoành độ giao điểm để xác định các giới hạn tích phân khi tính diện tích.

Giải chi tiết

Ta có $f(x) = \cos^{2}\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 + \cos x}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x$.

a) Sai: Ta có ${\int f}(x)dx = {\int{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x} \right)dx}} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x + C$.

b) Sai: Có $F(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x + C$.

Có $\left. F(0) = 3\Rightarrow\dfrac{0}{2} + \dfrac{1}{2}\sin 0 + C = 3\Rightarrow C = 3 \right.$.

Khi đó, $F\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{6} + 3 = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{13}{4}$.

c) Đúng: ${\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f}(x)dx = \left. \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\sin x} \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi$.

Suy ra $a = \dfrac{1}{2},b = \dfrac{1}{4}$. Khi đó $a^{2} + b = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

d) Đúng: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$\left. \cos^{2}\dfrac{x}{2} = x^{2} - 4 + \cos^{2}\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow x^{2} - 4 = 0\Leftrightarrow x = \pm 2 \right.$.

Trên đoạn [0; 3], phương trình có một nghiệm là $x = 2$.

Diện tích hình phẳng là:

$S = {\int\limits_{0}^{3}{\left| {\left( {x^{2} - 4 + \cos^{2}\dfrac{x}{2}} \right) - \cos^{2}\dfrac{x}{2}} \right|dx}} = {\int\limits_{0}^{3}{\left| {x^{2} - 4} \right|dx}}$

$= {\int_{0}^{2}{(4 - x^{2})dx}} + {\int_{2}^{3}{(x^{2} - 4)dx}}$

$= \left. \left( {4x - \dfrac{x^{3}}{3}} \right) \right|_{0}^{2} + \left. \left( {\dfrac{x^{3}}{3} - 4x} \right) \right|_{2}^{3} = \dfrac{32}{3} - \dfrac{9}{3} = \dfrac{23}{3}$.

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn