Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh bằng

Câu hỏi số 952699:

Vận dụng

Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh bằng 2dm, miệng chậu là tam giác đều cạnh bằng 5dm và chiều cao chậu nước bằng 3dm. Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ lít/phút. Tại thời điểm 14 phút sau khi bơm tốc độ dâng lên của nước trong chậu là $\dfrac{1}{a}$ dm/phút, giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952699

Phương pháp giải

Sử dụng tỷ lệ đồng dạng để tìm biểu thức cạnh của mặt thoáng nước theo chiều cao h.

Tính diện tích mặt thoáng của nước theo h.

Dùng ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể để tìm thể tích nước tại độ cao h, từ đó giải phương trình tìm độ cao h lúc t = 14 phút.

Sử dụng đạo hàm của hàm hợp liên hệ giữa lưu lượng bơm, diện tích mặt thoáng và tốc độ dâng của mực nước: $V'(t) = S(h) \cdot h'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi h là chiều cao mực nước tại thời điểm $t$ ($0 \leq h \leq 3$). Tại độ cao h, mặt nước là một tam giác đều có cạnh x.

Theo định lý Thales trong hình chóp cụt:

$\left. \Rightarrow\dfrac{x - 2}{h} = \dfrac{5 - 2}{3} = 1\Rightarrow x = h + 2 \right.$

Thể tích khối nước trong chậu (hình chóp cụt chiều cao h, cạnh đáy 2 và x) là:

$V = \dfrac{h}{3}(S_{1} + S_{x} + \sqrt{S_{1} \cdot S_{x}})$

$V = \dfrac{h}{3}\left( {\dfrac{2^{2}\sqrt{3}}{4} + \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\dfrac{2^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4}}} \right) = \dfrac{h\sqrt{3}}{12}(4 + x^{2} + 2x)$

Thay $x = h + 2$ vào ta được

$V = \dfrac{h\sqrt{3}}{12}(4 + {(h + 2)}^{2} + 2(h + 2)) = \dfrac{h\sqrt{3}}{12}(h^{2} + 6h + 12) = \dfrac{\sqrt{3}}{12}(h^{3} + 6h^{2} + 12h)$

Tổng thể tích nước sau 14 phút: $V(14) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.14 = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$

Ta có phương trình: $\left. \dfrac{\sqrt{3}}{12}(h^{3} + 6h^{2} + 12h) = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow h^{3} + 6h^{2} + 12h = 56 \right.$

$\left. \Rightarrow{(h + 2)}^{3} - 8 = 56\Leftrightarrow{(h + 2)}^{3} = 64\Leftrightarrow h + 2 = 4\Rightarrow h = 2\text{(dm)} \right.$

Đạo hàm hai vế biểu thức thể tích $V(t)$ theo biến $t$:

$V' = \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dh} \cdot \dfrac{dh}{dt}$

Ta có $\dfrac{dV}{dh} = \dfrac{\sqrt{3}}{12}(3h^{2} + 12h + 12) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}{(h + 2)}^{2}$.

Thay các giá trị tại thời điểm $t = 14$ ($h = 2$ và $V' = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$):

$\left. \Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}{(2 + 2)}^{2} \cdot h'(14)\Rightarrow h'(14) = \dfrac{1}{12} \right.$

Theo đề bài, tốc độ dâng lên của nước là $\dfrac{1}{a}$ dm/phút nên $a = 12$

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.