Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC=10\sqrt{5}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Khoảng cách d giữa BD và MN là $\sqrt{a}$. Giá trị của a là?
Đáp án đúng là: 5
Quảng cáo
Chuyển khoảng cách cần tính về $d(BD, (MNP))$ với P là trung điểm BC, sau đó dùng tỉ số khoảng cách để đưa về khoảng cách với điểm A.
Xác định khoảng cách từ A là đường cao AK của tam giác vuông MAE (với $E = AC \cap NP$), tính AK bằng hệ thức lượng.
Gọi P là trung điểm BC và \(E=NP\cap AC\), suy ra \(PN\parallel BD\) nên \(BD\parallel \left( MNP \right)\).
Do đó
\(d\left( BD;MN \right)=d\left( BD;\left( MNP \right) \right)=d\left( O;\left( MNP \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( MNP \right) \right)\).
Kẻ \(AK\bot ME\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( MNP \right)\). Khi đó \(d\left( A;\left( MNP \right) \right)=AK.\)
Tính được \(SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=10\sqrt{3}\) \(\Rightarrow MA=5\sqrt{3};\,\,AE=\dfrac{3}{4}AC=\dfrac{15\sqrt{2}}{2}\)
Tam giác vuông \(MAE\), có \(AK=\dfrac{MA.AE}{\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=3\sqrt{5}\)
Vậy \(d\left( BD;MN \right)=\dfrac{1}{3}AK=\sqrt{5}\).
Đáp án cần điền là: 5
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
