Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(4;2;0)$ . Giả sử B,C là các điểm thay đổi lần lượt nằm trên

Câu hỏi số 964330:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(4;2;0)$ . Giả sử B,C là các điểm thay đổi lần lượt nằm trên các trục Ox và Oz . Gọi M là trung điểm của AC. Biết rằng khi B và C thay đổi thì hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng AB luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bình phương bán kính của đường tròn đó.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,25

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964330

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hình chiếu và định lý ba đường vuông góc trong không gian:

Tìm tọa độ điểm M theo tham số của điểm C.

Tìm hình chiếu vuông góc I của M lên mặt phẳng (Oxy) và nhận xét tính chất của điểm I.

Chứng minh $IH\bot AB$ để tìm quỹ tích điểm H. Quỹ tích điểm nhìn một đoạn thẳng cố định dưới một góc $90^{{^\circ}}$ trong mặt phẳng là đường tròn đường kính bằng đoạn thẳng đó.

Giải chi tiết

Gọi tọa độ các điểm nằm trên các trục tọa độ là $B(b;0;0) \in Ox$ và $C(0;0;c) \in Oz$.

Vì M là trung điểm của AC nên tọa độ của M là: $\left. M\left( {\dfrac{4 + 0}{2};\dfrac{2 + 0}{2};\dfrac{0 + c}{2}} \right)\Rightarrow M\left( {2;1;\dfrac{c}{2}} \right) \right.$

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng $(Oxy)$, ta có $I(2;1;0)$.

Nhận thấy tọa độ của I không phụ thuộc vào b, c nên I là một điểm cố định (chính xác I là trung điểm của đoạn thẳng OA).

Vì I là hình chiếu của M lên (Oxy) nên $MI\bot(Oxy)$.

Lại có điểm $A(4;2;0) \in (Oxy)$ và điểm $B(b;0;0) \in (Oxy)$, do đó đường thẳng AB hoàn toàn nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$.

Từ đó suy ra $MI\bot AB$. (1)

Theo giả thiết, H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng AB nên $MH\bot AB$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left. AB\bot(MIH)\Rightarrow AB\bot IH \right.$.

Mặt khác, I, A, B đều nằm trong mặt phẳng (Oxy), và $H \in AB$ nên H cũng nằm trong mặt phẳng (Oxy).

Như vậy, trong mặt phẳng (Oxy), khi B, C thay đổi, điểm H luôn nhìn đoạn thẳng cố định IA dưới một góc vuông ($\widehat{IHA} = 90^{{^\circ}}$).

Do đó, H luôn nằm trên một đường tròn cố định là đường tròn đường kính IA nằm trong mặt phẳng (Oxy).

Đường kính của đường tròn này có độ dài là:

$IA = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$

Bán kính của đường tròn là $R = \dfrac{IA}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Bình phương bán kính của đường tròn đó là: $R^{2} = \left( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \right)^{2} = \dfrac{5}{4}$

Đáp án cần điền là: 1,25

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.