Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và đường thẳng

Câu hỏi số 964329:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):{(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 - t} \\ {y = t} \\ {z = m + t} \end{array} \right.$

Tính tổng các giá trị của tham số m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:964329

Phương pháp giải

Từ phương trình mặt cầu (S), xác định tọa độ tâm I và bán kính R.

Các mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại A và B vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tại các tiếp điểm vuông góc với nhau. Vì mặt cầu có tính chất vectơ pháp tuyến của tiếp diện tại tiếp điểm chính là vectơ bán kính tại điểm đó nên ta có $\left. \overset{\rightarrow}{IA}\bot\overset{\rightarrow}{IB}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{IA} \cdot \overset{\rightarrow}{IB} = 0 \right.$, suy ra tam giác IAB vuông tại I.

Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d (chính là đường cao hạ từ đỉnh góc vuông I của tam giác vuông cân IAB): $d(I,d) = \dfrac{R}{\sqrt{2}}$.

Thiết lập phương trình khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d theo tham số m, giải phương trình để tìm m và tính tổng các giá trị thỏa mãn.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0; - 2)$ và bán kính $R = \sqrt{4} = 2$.

Đường thẳng d đi qua điểm $M(2;0;m)$ và có vectơ chỉ phương $\overset{\rightarrow}{u} = ( - 1;1;1)$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{IM} = (1;0;m + 2)$.

Tích có hướng của $\overset{\rightarrow}{IM}$ và $\overset{\rightarrow}{u}$ là:

$\lbrack\overset{\rightarrow}{IM},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} 0 & {m + 2} \\ 1 & 1 \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} {m + 2} & 1 \\ 1 & {- 1} \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ {- 1} & 1 \end{matrix} \right|} \right) = ( - m - 2; - m - 3;1)$

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

$d(I,d) = \dfrac{\left| {\lbrack\overset{\rightarrow}{IM},\overset{\rightarrow}{u}\rbrack} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u} \right|} = \dfrac{\sqrt{{( - m - 2)}^{2} + {( - m - 3)}^{2} + 1^{2}}}{\sqrt{{( - 1)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{\sqrt{2m^{2} + 10m + 14}}{\sqrt{3}}$

Mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A nhận $\overset{\rightarrow}{IA}$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng tiếp diện của (S) tại B nhận $\overset{\rightarrow}{IB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Theo giả thiết, hai mặt phẳng này vuông góc với nhau nên $\left. \overset{\rightarrow}{IA}\bot\overset{\rightarrow}{IB}\Rightarrow\widehat{AIB} = 90^{{^\circ}} \right.$.

Tam giác IAB có $IA = IB = R = 2$ và $\widehat{AIB} = 90^{{^\circ}}$ nên tam giác IAB vuông cân tại I.

Khoảng cách từ I đến đường thẳng d chính là đường cao kẻ từ I xuống cạnh huyền AB của tam giác IAB.

Suy ra $d(I,d) = \dfrac{IA}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Do đó ta có phương trình:

$\dfrac{\sqrt{2m^{2} + 10m + 14}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{2m^{2} + 10m + 14} = \sqrt{6} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2m^{2} + 10m + 14 = 6 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2m^{2} + 10m + 8 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = - 1} \\ {m = - 4} \end{array} \right. \right.$

Khi đó khoảng cách $d(I,d) = \sqrt{2} < R = 2$, nên đường thẳng $d$ luôn cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt, thỏa mãn điều kiện đề bài.

Tổng các giá trị của tham số $m$ là: $- 1 + ( - 4) = - 5$.

Đáp án cần điền là: -5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.