Cho x, y là các số dương thỏa mãn + + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = + +

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 9656:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = $\frac{3y}{x(y+1)}$ + $\frac{3x}{y(x+1)}$ + $\frac{1}{x+y}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ - $\frac{1}{y^{2}}$

A. Giá trị lớn nhất của M bằng $\frac{9}{2}$ .

B. Giá trị lớn nhất của M bằng $\frac{7}{2}$ .

C. Giá trị lớn nhất của M bằng $\frac{3}{2}$ .

D. Giá trị lớn nhất của M bằng $\frac{5}{2}$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9656

Giải chi tiết

Đặt a = $\frac{1}{x}$ > 0, b = $\frac{1}{y}$ > 0, theo đề bài có:

3 – (a + b) = ab ≤ $\frac{(a+b)^{2}}{4}$ (BĐT Cô – si) kết hợp với a + b > 0 suy ra a + b ≥ 2

Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{3a}{b+1}$ + $\frac{3b}{a+1}$ + $\frac{ab}{a+b}$ - a² – b² + 3 $\frac{(a+b)^{2}-2ab+a+b}{ab+a+b+1}$ - + $\frac{ab}{a+b}$ - (a + b)² + 2ab = $\frac{1}{4}$ [-(a + b)² + a + b + $\frac{12a}{a+b}$ + 2]

Đặt t = a + b ≥ 2 xét hàm số: g(t) = -t² + t + $\frac{12}{t}$ + 2

g’(t) = -2t - $\frac{12}{t^{2}}$ + 1 < 0, ∀t ≥ 2

Suy ra g(t) nghịch biến trên (2;+ ∞)

Do đó $\max_{[2,+]}$ g(t) = g(2) = 6 suy ra giá trị lớn nhất của M bằng $\frac{3}{2}$ đạt khi a = b = 1⇔ x = y = 1

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.