Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo.

Câu hỏi số 1038:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z₁= $(\frac{\sqrt{3}-i}{1-\sqrt{3}i})^{n}$ là số thực và z₂= $(\frac{5-i}{2-3i})^{n-2}$ là số ảo.

A. Số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là n=13

B. Số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là n=17

C. Số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là n=12

D. Số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là n=16

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1038

Giải chi tiết

Ta có $\frac{\sqrt{3}-i}{1-\sqrt{3}i}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i = cos $\frac{\pi}{6}$ +isin $\frac{\pi}{6}$

Suy ra z₁ = $(\frac{\sqrt{3}-i}{1-\sqrt{3}i})^{n}$ = $(cos\frac{\prod}{6}+isin\frac{\prod}{6})^{n}$ = cos $\frac{n\pi}{6}$ + isin $\frac{n\pi}{6}$

Do đó z₁ là số thực ⇔ sin $\frac{n\pi}{6}$ = 0 ⇔ n = 6k, với k nguyên dương.

Ta cũng có $\frac{5-i}{2-3i}$ = 1 + i = √2(cos $\frac{\pi}{4}$ + isin $\frac{\pi}{4}$ ).

Suy ra z₂ = $[\sqrt{2}(cos\frac{\prod}{4}+isin\frac{\prod}{4})]^{n+2}$

= √2ⁿ⁺²(cos $\frac{(n+2)\prod}{4}$ + isin $\frac{(n+2)\prod}{4}$ )

Do đó z₂ là số ảo ⇔ cos $\frac{(n+2)\pi}{4}$ = 0 ⇔ n + 2 = 4l + 2 ⇔ n = 4l, với l nguyên dương.

Từ đó ta suy ra số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là n = 12.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.