Cho phương trình √x + + 2m – 2 = m3 .Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất.

Câu hỏi số 10434:

Cho phương trình √x + $\sqrt{1-x}$ + 2m $\sqrt{x(1-x)}$ – 2 $\sqrt[4]{x(1-x)}$ = m³ .Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất.

A. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -3.

B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -2.

C. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.

D. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = 1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10434

Giải chi tiết

Phương trình √x + $\sqrt{1-x}$ + 2m $\sqrt{x(1-x)}$ – 2 $\sqrt[4]{x(1-x)}$ = m³ (1)

Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1

Nếu x ∈[0; 1] thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện x = 1 – x =>x = $\frac{1}{2}$ . Thay x = $\frac{1}{2}$ vào (1) ta được 2 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + m – 2. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = m³ => $\left\{\begin{matrix}m=0\\m=\pm 1\end{matrix}\right.$

*Với m = 0; (1) trở thành : ( $\sqrt[4]{x}$ - $\sqrt[4]{1-x}$ )² = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$

Phương trình có nghiệm duy nhất

*Với m = -1; (1) trở thành √x + $\sqrt{1-x}$ - 2 $\sqrt{x(1-x)}$ – 2 $\sqrt[4]{x(1-x)}$ = -1

⇔ (√x + $\sqrt{1-x}$ - 2 $\sqrt[4]{x(1-x)}$ ) + ( x + 1 – x- 2 $\sqrt{x(1-x)}$ ) = 0

⇔ ( $\sqrt[4]{x}$ - $\sqrt[4]{1-x}$ )² + (√x - $\sqrt{1-x}$ )² = 0

+Với $\sqrt[4]{x}$ - $\sqrt[4]{1-x}$ = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$

+Với √x - $\sqrt{1-x}$ = 0 ⇔ x = $\frac{1}{2}$

Trường hợp này , (1) cũng có nghiệm duy nhất

*Với m = 1 thì (1) trở thành :

√x + $\sqrt{1-x}$ - 2 $\sqrt[4]{x(1-x)}$ = 1 -2 $\sqrt{x(1-x)}$

⇔ ( $\sqrt[4]{x}$ - $\sqrt[4]{1-x}$ )² = (√x - $\sqrt{1-x}$ )²

Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm x = 0, x = $\frac{1}{2}$ nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.